Dans cette vidéo, on va voir comment trouver la limite d’une suite par comparaison, d’accord ?
Trouver la limite d’une suite par comparaison ?
Ce qu’on veut ici c’est calculer la limite quand n tend vers plus l’infini d’une certaine suite Un, par comparaison. Par comparaison ça veut dire quoi ? Ça veut dire qu’on va comparer Un à quelque chose d’autre dont on va savoir calculer la limite. Qu’est ce que ça veut dire ici ?
Premier cas.
Typiquement, ça veut dire qu’on va avoir, pour tout n, Un plus grand qu’une autre suite. On va l’appeler Vn par exemple. Et on va savoir que limite de Vn quand n tend vers plus l’infini égal à plus l’infini.
Donc ça c’est le premier cas. Si Un est plus grand que Vn pour tout n entier naturel et que la limite de Vn c’est plus l’infini. Eh bien Un est toujours plus grand que Vn. Donc en particulier, quand on va tendre vers l’infini, il va rester plus grand. Si Vn tend vers l’infini, eh bien la limite de Un c’est aussi plus l’infini.
Deuxième cas.
Même chose dans l’autre sens cette fois-ci. Alors tu vois que si Vn tend vers moins l’infini, là tu ne vas rien pouvoir dire. Puisque Un est plus grand que moins l’infini. Sauf que ça te donne pas la limite de Un.
Maintenant, le deuxième cas, c’est Un est plus petit que Vn quelque soit n, pour tout n appartenant aux entiers naturels. Et la limite de Vn toujours quand n tend vers plus l’infini puisque quand on a des suites, on ne regarde que cette limite là.
Cette fois-ci, la limite elle vaut moins l’infini. Alors qu’est ce qu’on a ? On a que la limite de Un est égale à moins l’infini aussi. Pourquoi ? Parce que Un est toujours plus petit que Vn quel que soit n ! Donc si Vn tend moins l’infini, puisque Un est plus petit que Vn, Un est forcée de tendre vers moins l’infini aussi.
L’erreur à ne pas commettre.
L’erreur à ne pas faire ici, c’est de croire que le sens d’une égalité n’a pas d’importance ! Ici, si Un est plus grand que Vn, il faut que Vn vers plus l’infini pour pouvoir dire que Un tend vers plus l’infini.
Si au contraire t’as Un qui est plus petit que Vn, il faut que Vn tende vers moins l’infini pour pouvoir dire que Un tend vers moins l’infini aussi.
Donc il faut juste retenir le sens de ce que tu fais. En gros ici, c’est Vn va pousser Un. Et pour pouvoir pousser Un, si Un est plus grand, il faut que Vn tend vers plus l’infini.
Ce n’est que dans ces deux cas-là que tu vas pouvoir déduire la limite de Un par comparaison. Et cette limite, elle va nécessairement être plus ou moins l’infini.
Voilà comment tu peux trouver la limite d’une suite Un par comparaison.
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