Comment représenter graphiquement une suite définie par Un+1 = f(Un) ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir comment représenter graphiquement une suite qui est définie sous la forme Un+1 = f(Un).

Différence avec le cas Un = f(n)…

Alors là, tu vois que c’est beaucoup moins simple, on n’a rien d’explicite ! Certes, n appartient toujours aux entiers sauf qu’ici, on n’a pas directement n, on a Un.

En fait, on a une formule de récurrence sur la suite qui nous dit que le terme d’après va être égal à la fonction qui nous intéresse ici prise en le terme d’avant.

Comment représenter graphiquement une suite définie par Un+1 = f(Un) ?

C’est pas simple à représenter graphiquement ! Mais on va voir ça tout de suite. Toujours pareil, on prend notre repère, voilà. On a deux axes et puis on a l’unité ici.

Bon, on va dire que notre unité c’est ça… 1, 2, 3 et puis pareil ici, on va pas trop s’embêter, on va prendre la même unité en y ! Et on a l’origine qui est ici.

L’axe y=x… !

Alors ce qu’on va avoir besoin ici, et tu vas vite comprendre pourquoi, c’est qu’on va avoir besoin de l’axe y = x. Autrement dit, l’axe qui passe à 45° ici. Et celui-là, on va en avoir besoin pour pouvoir faire ce qu’on veut, voilà.

Et ensuite on a la fonction f. Donc là, je vais reprendre quelque chose qui ressemble à ce que j’avais fait dans la vidéo précédente. Voilà, ça c’est Cf. On connaît la fonction f évidemment sinon on ne peut rien tracer.

La suite à représenter graphiquement :

On va vouloir tracer cette suite qui est définie par U(n+1) = f(Un). Ici, il faut qu’on ait aussi le terme initial, donc U0, on va le prendre 2 par exemple.

Et on va vouloir tracer cette suite, c’est à dire regarder comment se comporte U0, U1, U2, U3, etc. Eh bien, on part de U0. U0, il vaut 2, d’accord ?

Ici on va lire les termes de la suite sur l’axe des abscisses cette fois. Donc ici c’est U0, U0 il est ici. Qu’est ce que nous dit la formule de récurrence ?

Elle nous dit U1 c’est égal à f(U0). On va aller voir ce que c’est f(U0). Donc on remonte ici jusqu’à la courbe qui représente la fonction f. Et ici on a la valeur f(U0). f(U0), eh bien on a dit c’est quoi ? C’est U1 !

Ce qui se passe c’est que pour pouvoir comparer les valeurs U0 et U1, et voir comment elles évoluent, il faut qu’elles soient sur le même axe. Donc ici, on a U1 qui est sur l’axe des ordonnées, U0 qui est sur l’axe des abscisses.

Ramener les valeurs sur l’axe des abscisses !

Donc ce qu’on va faire c’est qu’on va ramener U1 sur l’axe des abscisses. Pourquoi ? Parce que pour calculer U2, il va falloir faire f(U1). Donc il va falloir venir lire U1 sur l’axe des abscisses.

Comment est ce qu’on fait ça ? Eh bien, c’est là qu’on va utiliser notre droite y=x ! Puisque sur cette droite là, si on revient ici, donc ça c’est y, ici on trace la droite parallèle à l’axe des abscisses et on trace la droite parallèle à l’axe des ordonnées.

Donc qu’est ce qu’il a de particulier ce point ci ? Eh bien c’est le point tel que y=x. Autrement dit, si y vaut U1, x vaut U1. Donc là, je vais changer de couleur, ici on va avoir U1.

Représenter U2…

On remonte, on veut calculer U2, U2 c’est f(U1). f(U1), eh bien on va le chercher. On prend U1, on vient jusqu’à la courbe Cf et on vient prendre le point qui ici. Donc ça, ça va être U2 = f(U1).

Ce qu’on veut maintenant, c’est ramener ce U2 sur l’axe des abscisses. Donc on trace la droite parallèle à l’axe des abscisses qui passe par U2 ici et qui vient couper y=x. Et on regarde le point que ça nous donne sur l’axe des abscisses.

Là, on va avoir un troisième point, ce troisième point c’est U2. Maintenant, on a U2, on peut avoir f(U2). f(U2) c’est U3. Donc ici U2, on remonte, on vient jusqu’ici, on vient regarder ce que ça vaut sur l’axe des y, ça vaut U3=f(U2).

Représenter U3…

Maintenant, on l’a sur l’axe des y, on veut le retrouver sur l’axe des abscisses. Donc on va faire exactement la même chose ici et on obtient un nouveau point encore ici, ce nouveau point eh bien c’est U3.

Et on répète…

Tu as bien compris qu’en fait, tu vas pouvoir continuer comme ça, tu vas pouvoir tracer ensuite U4 en prenant f(U3), en ramenant f(U3) sur cette droite là, et puis ainsi de suite, et tu vas pouvoir voir la suite qui évolue !

Donc c’est comme ça que tu vas pouvoir représenter graphiquement une suite qui est définie par une formule de récurrence qui fait intervenir une fonction f, c’est à dire Un+1 = f(Un).

Tu traces ta fonction, tu traces y=x, tu pars de U0, tu vas chercher U1 comme f(U0). Puis tu ramènes ce U1 sur l’axe des abscisses, et tu vas chercher f(U1) pour obtenir U2. Puis tu ramènes ce U2 sur l’axe des abscisses, etc, etc !

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