Comment déterminer la limite d’une suite grâce à un encadrement ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir comment tu peux déterminer la limite d’une suite Un par encadrement.

Encadrer les termes de la suite Un.

Ce qu’on va vouloir c’est calculer la limite de Un quand n tend vers plus l’infini par encadrement. Et, un encadrement c’est une double inégalité !

On va donc avoir notre suite Un, et un encadrement qu’on va déduire de notre exercice ici. Autrement dit, on va savoir que Un est compris entre Vn et Wn pour tout n appartement aux entiers naturels.

Donc ça c’est à toi de le montrer dans ton exercice, alors soit on t’amène à le montrer, soit tu le fais seul.

Déterminer la limite d’une suite grâce à l’encadrement.

Ensuite, il faut avoir les limites qui soient intéressantes ! C’est à dire qu’en gros il faut que limite de Vn soit égal à la limite de Wn quand n tend vers plus l’infini.

Si tu as les deux limites qui tendent vers la même chose, alors ce qui est intéressant ici c’est que les limites soient égales à une limite finie ! 

Un exemple.

On va prendre un exemple, on peut dire que cette limite vaut 2 par exemple. Mais il ne faut pas que ça soit pas plus ou moins l’infini. Donc on va appeler cette limite l, et l c’est un réel.

Donc nos deux suites qui encadrent la suite Un tendent vers la même limite. Tu vois ici que si Un est compris entre ces deux suites, nécessairement, quelque soit n, la limite de Un va être aussi la même limite.

Donc ça ça implique quoi ? Ça implique que la limite de Un, évidemment quand n tend vers plus l’infini, c’est aussi égale à ‘l’, où l c’est la limite des deux suites.

Tu sais que ta suite Un, elle est comprise entre deux valeurs. Pour tout n, elle est comprise entre deux suites. Ces deux suites tendent vers la même limite. Eh bien tu vois que Un étant au milieu, elle est obligée de tendre vers la même limite.

Conclusion.

Donc une façon de déterminer la limite d’une suite Un, ça peut être d’encadrer Un pas deux suites qui vont avoir la même limite. Grâce à ça, tu vas pouvoir déduire par encadrement la limite de la suite Un, qui va être la limite des deux suites qui l’encadrent.

Donc voilà comment tu peux déterminer une limite de suite par encadrement.

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