Comment calculer p(X < a) quand X suit une loi à densité ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir comment calculer p(X < a) quand X suit une loi à densité.

Ici X c’est une variable aléatoire qui va suivre une loi à densité. Et la densité de probabilité c’est la fonction f. Ce qu’on veut c’est calculer p(X < a).

Comment calculer p(X < a) pour X suivant une loi à densité ?

Eh bien c’est ce qu’on va voir dans cette vidéo. Donc je vais passer par le mode graphique parce que je pense que c’est quelque chose qui va t’aider.

On a dit que la densité de proba est toujours une fonction positive , peu importe la tête qu’elle a. Et on sait que son intégrale complète vaut 1, c’est tout ce qu’on sait.

L’exemple de la densité de proba d’une loi uniforme.

Toutes les densités de proba n’ont pas la tête d’une cloche comme j’ai fait dans la vidéo précédente. Si on prend la densité de proba d’une loi uniforme par exemple, eh bien, c’est simplement quelque chose comme ça.

Donc c’est quelque chose qui vaut 1 à un endroit et qui vaut 0 ailleurs. Donc ici elle vaut 0. Avant ce point là, elle vaut 0, alors je vais noter ces deux points juste pour nous simplifier la vie, on va appeler ça x1 et ici x2.

Autrement dit, ça c’est la densité de probabilité d’une loi uniforme entre x1 et x2. La valeur en y ici, on ne va pas vraiment l’utiliser, mais c’est 1/(x2-x1), tu verras ça dans tes cours mais ça importe peu ici. La seule chose qui t’importe c’est qu’elle vaut zéro ici, et vaut une valeur toujours la même et puis, elle vaut 0 après.

(C’est juste pour te montrer que la densité de probabilité n’est pas forcément quelque chose de tout beau comme j’ai fait dans la vidéo précédente.)

Comprendre les intégrales qui se cachent derrière !

Maintenant, ce qui nous intéresse c’est de regarder p(X < a). Alors on va prendre une valeur de a ici, par exemple, et on veut calculer cette probabilité.

Alors encore une fois, on sait que l’intégrale sur tout le domaine de la fonction f vaut 1. Autrement dit ici ça, ça vaut zéro ici, donc l’aire sous la courbe sur tout le domaine en fait, ça correspond à ce que je suis entrain de hachurer en orange.

Autrement dit, l’aire ici qui est l’intégrale entre x1 et x2 de f(x) dx vaut 1. Ça on le sait puisque f est une densité de probabilité qui vaut 0 avant x1 et 0 après x2.

Eh bien la probabilité que x soit plus petit que ‘a’, c’est l’aire qui est entre ici x1 et a. Donc cette probabilité là, tu vois que c’est bien X plus petit que a. X en fait c’est comme si on le lisait sur l’axe des abscisses.

Calcul de p(X < a)

Ce qui fait que X plus petit que a, eh bien c’est en gros, c’est la probabilité que X soit plus petit que a. Entre x1 et a, ça il y a une probabilité qui existe, ensuite ça vaut zéro. Donc qu’est ce que ça nous dit, ça nous dit que p(X < a) c’est égal à l’intégrale entre moins l’infini et a de f(x) dx.

Ici j’insiste, c’est moins l’infini, on travaille toujours sur R en entier. Par contre, suivant la fonction qui t’intéresse, et ici la fonction f elle vaut 0 avant x1, donc tu peux séparer ça entre moins l’infini et x1, et puis x1 et a.

Pour nous ici, ça va correspondre exactement à l’intégrale entre x1 et a. Ce qu’il faut que tu retiennent c’est que p(X < a) c’est la même chose ici que X appartient à moins ]-∞, a].

Et puisque c’est la même chose que moins ]-∞, a], ton intégrale, elle est sur moins ]-∞, a]. Quand j’écris ça c’est exactement la même chose que quand j’écris intégrale sur moins l’infini, a de f(x) dx.

Au final…

Tu dois retenir que X < a, c’est la même chose que X appartient à ]-∞, a]. Cet intervalle ici c’est celui sur lequel tu va intégrer ta densité de probabilité.

Maintenant, intégrer sur cette intervalle là c’est la même chose qu’intégrer entre moins l’infini et a, f(x) dx. Donc ensuite, suivant comment f est définie, peut-être que ton intervalle va être restreint comme ici, ou bien ce sera une intégrale entre moins l’infini et a.

Voilà comment calculer la probabilité de p(X < a) quand X suit une loi à densité de probabilité.

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