Comment calculer p(X>a) quand X suit une loi de probabilités à densité ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir comment calculer p(X>a) quand X suit une loi de probabilités à densité.

Comment calculer p(X>a) quand X suit loi probabilités à densité

On a donc toujours X qui suit une loi de proba à densité, de densité, et on va vouloir calculer p(X>a).

Eh bien on va faire encore la même chose, on va la dessiner ! Comme ça tu la verras, et à force de le répéter, ça rentrera certainement. Donc ici on a notre fonction, et on va prendre une fonction f un peu différente qui ressemble à la loi exponentielle, c’est une courbe qui décroît, mais qui n’est pas définie avant 0.

Donc ici, Df, juste pour l’exemple, Df c’est R+. Donc ça c’est une loi à densité, tu me fais confiance 🙂 ! L’intégrale c’est bien une densité de probabilité. L’intégrale vaut 1/R, mais en fait ici R c’est R+. Donc elle vaut 0 ailleurs ici.

Tu vois si je veux dessiner la fonction complète en fait il faudrait que je dise qu’avant 0, ça vaut zéro. Je peux maintenant faire une intégrale sur R, et en fait ça revient à faire l’intégrale sur R+.

Regardons X>a.

On va prendre un petit a, petit a ici. Donc là, comme d’hab, on trace ce qui nous intéresse c’est la valeur X=a, et on veut X>a? donc X plus grand que a c’est ici. Donc la probabilité que x soit plus grand que a, ça va être l’intégrale de la fonction f pour X>a.

Donc ça va être cette aire ici que je suis entrain d’hachurer. Ça, ça va être la première façon de calculer les choses. Autrement dit, p(X>a) c’est l’intégrale entre a et plus l’infini de f(x) dx. Alors, comment on s’en rappelle ?

Encore une fois, c’est la même technique qu’avant : X plus grand que a, c’est quoi ça ? C’est équivalent à dire que X appartient à… alors ici comme j’ai mis un strict, a on ne le prend pas, plus l’infini.

Et l’intégrale sur a strict, plus l’infini strict, sur cet intervalle là de f(x) dx, et bien c’est aussi la même chose, c’est l’intégrale entre a et plus l’infini de f(x) dx. Donc là, si tu connais f, tu connais une primitive de f, eh bien tu peux calculer cette intégrale !

Attention à l’infini…

Ici, en plus l’infini, il va falloir faire un peu attention puisque il va falloir que tu prennes en gros la limite de la primitive quand X tend vers plus l’infini. Globalement, on va rarement faire sous cette forme là, mais c’est important de le savoir et de comprendre le lien graphique ici que tu as ici.

Une autre façon de calculer P(X>a) ?

Alors la deuxième façon de faire qui est plus intéressante c’est de te rappeler que l’intégrale sur tout le domaine vaut 1. Et maintenant, un autre calcul que tu sais faire c’est l’intégrale ici à gauche. Qu’est ce que c’est ?

Alors ici, on n’a rien à droite, on n’a rien vers moins l’infini puisque la fonction vaut 0, mais cette intégrale ici c’est rien d’autre que l’intégrale entre moins l’infini et a de f(x) dx. Mais ça, on sait que c’est p(X<=a) !

Et l’intégrale totale, elle vaut 1. Donc en fait, l’intégrale totale vaut 1, l’intégrale orange, on sait la calculer, donc on sait en déduire l’intégrale verte. Qu’est ce que ça nous dit ? Que p(X>a) c’est égal à quoi ?

C’est égal à 1, l’intégrale sur le domaine total, moins p(X<=a). Donc ça c’est une formule, tu vois que c’est des choses qu’on utilisait déjà dans les probabilités discrètes c’est que tu peux toujours voir la probabilité d’un événement par rapport à la probabilité de son événement contraire ici.

Passons par l’évènement contraire…

L’événement contraire de X strictement plus grand que a c’est X inférieur ou égal à a. Tu peux calculer cette probabilité à partir de cette probabilité là. Donc si tu connais la probabilité de X plus petit ou égal à a, tu peux directement en déduire la probabilité de X strictement plus grand que a !

Sinon, tu fais le calcul via l’intégrale ici, p(X<a) c’est l’intégrale entre moins l’infini et a de f(x) dx. Et dans un cas comme celui que j’avais dessiné, tu vois que l’intégrale sur [-∞, 0], vaut 0. Donc en fait, ça revient à l’intégrale entre 0 et a de f(x) dx qui va te permettre de le calculer très facilement.

Là encore, le côté graphique va t’aider à dessiner ça. Alors, si je te le dessine sur une autre densité de proba pour bien te montrer que c’est pas juste lier au fait que ici la densité valait 0 avant.

Sur une autre densité de proba !

Si je fais une densité de proba qui est encore une fois une cloche, et que je prends une valeur de a ici, je prends ça comme valeur de a. Donc ça, je dis c’est a. Tu vois que l’intégrale à droite c’est à dire l’intégrale pour X>a, eh bien c’est 1, puisque 1 c’est l’intégrale totale, moins l’intégrale à gauche.

L’intégrale à gauche ici c’est la probabilité que X<a. L’intégrale totale vaut 1, donc l’une vaut 1 – l’autre. C’est simplement ça ici que j’utilise.

Voilà comment tu peux calculer la p(X>a) si X suit une loi de probabilités à densité.

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