Comment calculer une probabilité conditionnelle avec la loi uniforme ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir comment on peut calculer une probabilité conditionnelle avec la loi uniforme.

Probabilités conditionnelles.

Ce qui nous intéresse c’est de regarder une probabilité conditionnelle cette fois ci ! Donc « conditionnelle » / « sachant que » : probabilité conditionnelle et loi uniforme.

En fait, on va voir que il n’y a pas grande chose qui change par rapport à quand on fait la probabilité conditionnelle habituelle.

La formule des probas conditionnelles.

C’est que p de B sachant A c’est p (A ∩ B) / p(A). Bon, maintenant si les événements A et B,… sont des choses qui dépendent d’une certaine variable X qui suit une loi uniforme. Donc ici X suit une de loi uniforme sur [a,b].

Et qu’on pose par exemple A égal X plus grand, alors c’est l’événement X plus grand que c, et puis b l’événement : X plus petit que d, plus petit ou égal à d, bon ici inférieur ou égal ou inférieur ou égal ou supérieur ou égal stricte, ça change pas grande chose !

Visualisons le problème.

On va juste tracer ça pour comprendre un peu ce qu’on est entrain de faire. Et on a deux bornes a et b, notre loi est définie sur cette chose là. On a un premier point qui est c, et puis un deuxième qui est d, par exemple ici.

Donc l’événement A c’est X plus grand que c, ça va être sur cette partie-ci, d’accord ? Ça c’est bien X plus grand que c. Maintenant, l’événement B c’est X plus petit que d. Donc X plus petit que d c’est ici. Ça c’est X plus petit que d.

Calcul de la probabilité conditionnelle avec une loi uniforme.

Et on veut regarder la probabilité A sachant B. C’est à dire la probabilité de X inférieur ou égal à d sachant que X que X est plus grand ou égal à c. C’est ça que je suis entrain de faire, d’accord ?

Vraiment il n’y a rien qui change de la probabilité classique. C’est juste que je remplace mes événements par ceux à quoi ils correspondent. Donc ici, ça veut dire qu’on va regarder la probabilité de A, donc A c’est X plus grand que c, inter X plus petit que d, divisé par la probabilité de A, la probabilité de X supérieur ou égal à c.

La seule chose qui est un petit peu compliquée ici c’est de comprendre à quoi correspond cet événement. Donc ici, on a X plus grand que c et x plus petit que d. Alors là, l’événement il est assez simple et en fait il va correspondre à quoi ?

Il va correspondre à X compris entre c et d, d’accord ? Plus grand que c et plus petit que d, celle là et l’autre. C’est l’événement en fait ici en orange, c’est X compris entre c et d.

Petit aparté.

Je fais une petite aparté, si jamais on avait eu X plus grand que d, tu vois qu’on aurait eu X plus grand que c inter X plus grand que d, eh bien pour que les deux soient vraies, il aurait fallu garder que X plus grand que d, d’accord ?

Retour à notre calcul de proba conditionnelle.

Maintenant on a ça, et puis on divise par X plus grande que c. Eh bien là, il reste plus qu’à calculer, donc je te passe les calculs, mais ici on va avoir quoi ?

On va avoir (d-c) / (b-a) le tout divisé par X plus grand que c. Ça va faire (b – c) / (b – a), et tout ça ça se simplifie. Qu’est ce qu’on obtient ? On obtient (d – c) / (b – c).

Alors ce qui est intéressant c’est d’aller regarder à quoi ça correspond. d-c c’est cette partie ici, b -c c’est cette partie ici. Donc on est entrain de dire que la probabilité conditionnelle de X plus petit que d sachant que X est plus grand que c, c’est le ratio entre ça et ça.

Donc ça revient exactement à regarder la probabilité, d’accord ? Ca c’est la même chose que probabilité de y plus petit que d ! Où y suit une loi uniforme non pas sur [a,b], mais sur [c,b].

C’était juste un petit détail, l’important c’est le calcul ici. Tu vois qu’on suit la forme classique, on regarde juste ce que c’est A, ce que c’est B, et ce que c’est A ∩  B. Ensuite on n’a plus qu’à faire des petits calculs et on arrive à ce qui nous intéresse.

Voilà comment tu peux calculer une probabilité conditionnelle avec la loi uniforme.

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