Comment calculer la probabilité d’une variable qui suit une loi uniforme ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir comment calculer la probabilité d’une variable qui suit une loi uniforme.

Comment calculer la probabilité d’une variable en loi uniforme ?

Donc on va avoir X qui suit une loi uniforme sur [a,b] par exemple. Et on va vouloir calculer certaines proba. Par exemple, p(X<=c). Alors qu’est ce que c’est ?

P(X≤c) ?

c ici, on va le prendre appartenant dans [a,b] sinon ça n’a pas beaucoup de sens. Ici, p(X) plus petit que c puisqu’ici la loi uniforme est définie sur [a,b] et que c appartient à [a,b].

C’est la même chose que la probabilité de X compris entre a et c, et ça c’est l’intégrale entre a et c de f(x) dx. Donc on remplace f(x)  par la densité de probabilité, intégral entre a et c de (1/(b-a)) dx, ça fait 1 / (b – a) intégral entre a et c de 1 dx.

Jusqu’ici 1 / (b – a) c’est une constante qui dépend pas de X, donc on peut la sortir de l’intégrale. Et maintenant, on va avoir juste à intégrer 1 entre a et c. En fait quand on intègre 1 entre a et c, ça revient juste à  prendre c-a, c est une primitive étant X, cette chose-là ça vaut c-a, d’accord ?

Illustration…!

Donc la probabilité de X plus petit que c, c’est (c – a) / (b – a). Si on regarde rapidement, je vais dessiner plus ou moins à quoi ça peut correspondre, d’accord ? On va comprendre un peu plus.

Alors, ici on prend a, on prend b et on prend c. c-a c’est cette longueur ici, b – a c’est la longueur complète ici. Donc la probabilité c’est la taille de cet intervalle ici, divisée par la taille de cet intervalle là.

Tu vois que si c est proche de a, la probabilité est toute petite, si c est proche de b, la probabilité est très grande. Donc ça c’était pour X  plus petit que c, eh bien tu peux faire la même chose pour les autres.

Et pour X plus grand de c ?

Donc X plus grand que c, p(X>=c), eh bien cette fois ci, ça va être plus grand que c, donc ça va être la probabilité que X soit plus grand que c est toujours plus petit que b, puisqu’on est toujours sur [a,b].

Ici, ça va être l’intégrale entre c et b de f(x) dx. Si tu fais le calcul de la même façon, bah tu vas obtenir (b – c) / (b -a). Cette fois ci, si on prend ici, on va regarder le petit intervalle qui est ici divisé par le grand.

Donc ça sera les choses inversent, et puis globalement, de façon générale, si t’as maintenant X compris entre c et d. Eh bien tu vois que ça c’est simplement l’intégrale entre c et d  de f(x) dx.

Et ça va faire (d-c) / (b-a). Donc les calculs sont très simples avec la loi uniforme, mais les idées sont exactement les mêmes que celles que tu as utilisé pour les autres lois continues.

Donc pour calculer la proba d’une variable qui suit une loi uniforme, on doit…

On se retrouve toujours à devoir faire une intégrale sur un certain intervalle qui dépend de ce que tu es entrain de regarder, f(x) dx. Donc le f(x), suivant la loi que tu vas utiliser, va changer.

Ici c’est la loi uniforme, donc c’est très simple, c’est 1 sur b – a où b – a c’est quand ta loi uniforme, elle est sur [a,b]. Donc voilà comment tu peux calculer une probabilité en utilisant la loi uniforme.

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