Comment comprendre les équations paramétriques de droites en 3D ?

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Retranscription

​Dans cette vidéo, on va voir comment comprendre les équations paramétriques de droites en 3D.

Visualiser dans un repère !

Donc on va commencer par prendre un repère, ok ? Voilà, donc là, on a un repère x, y, z  toujours pareil. Et on va prendre une droite qui est une droite en 3D ici.

Donc qu’est-ce qu’une droite si ce n’est en fait un point, par exemple ce point là qu’on peut appeler A, et un vecteur quel qu’il soit, qui soit dirigé dans le sens de la droite.

Si je prends ce vecteur là, on va l’appeler u. Autrement dit, le vecteur fixe la direction, le point fixe l’emplacement de cette droite !

Ou encore, le vecteur lui va fixer toutes les droites parallèles qui passent par là. Et si tu fixes un point, tu fixes une seule et unique droite.

Le lien pour comprendre les équations paramétriques de droites en 3D.

Et tous les points de cette droite, ce que tu peux voir c’est qu’ils s’écrivent…  Alors si tu prends un point ici par exemple. Tu prends un point M, tu vas pouvoir l’écrire comme quelque chose qui démarre à A et qui est le vecteur u multiplié par une constante.

Alors ici, une constante négative puisque on part dans l’autre sens, mais ce vecteur u c’est le vecteur directeur. Ça veut dire que tous les points de la droite, donc tous les points M, ils peuvent s’écrire comme A + k * u, d’accord ?

Qu’est ce que ça veut dire en termes de coordonnées ?

Ça veut dire ici qu’on a (x y z), coordonnées d’un point de la droite, qui vont s’écrire comme les coordonnées de A, (x_A y_A z_A) + k fois le vecteur u.

Si on écrit que U c’est (U_x U_y U_z), eh bien là on a exactement l’équation paramétrique de la droite. Alors qu’est ce que ça nous dit ?

Qu’il suffit de le réécrire autrement, x = x_A + k * U_x, y = y_A + k * U_y et puis z = z_A + k * U_z. Donc là, le paramètre c’est k. Donc le k que j’ai mis ici, des fois il s’appelle t, des fois il s’appelle k… Peu importe c’est un réel et ça c’est k appartient aux réels.

Et tous les points M appartenant à la droite (D), vérifient M est égal à A + k * U. Autrement dit, tous les points M qui s’écrivent (x y z),  vont s’écrire sous cette forme là.

Et tu vois qu’ici, tu relies exactement les points de la droite au point de départ plus k fois le vecteur directeur, avec k qui appartient bien à R.

eSi k est égal à zéro, tu vois que tu retombes sur le point A, si k est négatif eh bien on part dans ce sens. Et si k est positif, on part dans ce sens là.

Voilà comment tu peux comprendre les équations paramétriques de droites en 3D. ​

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