Dans cette vidéo je t'explique comment comprendre les équations paramétriques de droites en 3D.

Transcription de la vidéo

​Dans cette vidéo, on va voir comment comprendre les équations paramétriques de droites en 3D. Donc on va commencer par prendre un repère, ok ? Voilà, donc là, on a un repère x y z
toujours pareil donc x on peut le mettre où on veut mais y et z, et on va prendre une droite qui est une droite en 3D ici, donc une droite qui est squellée. Donc qu'est-ce qu'une droite si ce n'est en fait un point, par exemple ce point là qu'on peut appeler A, et un vecteur quels qu'il soit, qu'il soit dirigé dans le sens de la droite. Donc si je prends ce vecteur voilà et ce petit vecteurs eh bien on va l'appeler u.

Donc le vecteur fixe la direction, le point fixe l'emplacement de cette droite.
Donc le vecteur lui va fixer toutes les droites parallèles qui passent par là, et
si tu fixes un point, eh bien tu fixes une seule droite, une seule et unique
droite. Et tous les points de cette droite, ce que tu peux voir c'est qu'ils
s'écrivent, alors si tu prends un point ici par exemple, tu prends un point M, tu vas pouvoir l'écrire comme quelque chose qui démarre à A et qui est le vecteur u multiplié par une constante. Alors ici, une constante négative puisque on part dans l'autre sens, mais ce vecteur u c'est le vecteur directeur, ça veut dire que tous les points de la droite, donc tous les points M, ils peuvent s'écrire comme A + k * u D'accord ?

Ici c'est bien un fois. Qu'est ce que ça veut dire en termes de coordonnées ? ça veut dire ici qu'on a (x y z) qui sont les coordonnées d'un point de la droite qui vont s'écrire
comme les coordonnées de A, (x_A y_A z_A) plus k fois, donc un paramètre ici, k fois le vecteur u, voilà, u on va l'appeler, (U_x U_y U_z), donc quand tu sais ça, eh bien là on a exactement l'équation paramétrique de la droite. Alors qu'est ce que ça nous dit ? ça nous dit il suffit de le réécrire autrement, x = x_A + k * U_x, y = y_A + k * U_y et puis z = z_A + k * U_z. Donc là, le paramètre c'est k.

Donc le k que j'ai mis ici, des fois il s'appelle t, des fois il s'appelle k,, peu importe c'est un réel et ça c'est k appartient aux réels. Et tous les points de la droite c'est à dire tous les points de la forme (x y z) ou si l'on nomme cette droite (D), M appartient à (D), eh bien c'est exactement la même chose que de dire que M est égal à
A + k * U. Donc tous les points de la droite (D), donc tous les points M qui
s'écrivent (x y z), ils vont s'écrire sous cette forme là.

Et tu vois qu'ici eh bien tu relis exactement ton point, les points de la droite au point de départ plus k fois le vecteur directeur, avec k qui appartient bien à R, et donc c'est à la fois, si k est égal à zéro et tu vois que tu retombes sur le point A, si k est négatif eh bien on part dans ce sens, si k est positif eh bien on part dans ce sens là. Donc c'est comme ça que tu comprends les équations paramétriques de droites en 3D.

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