Comment comprendre les équations paramétriques de plans en 3D ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir comment comprendre les équations paramétriques de plans en 3D.

Visualiser pour comprendre !

On va commencer avec un repère. Dans ce repère, on a x y et z, et pour avoir un plan en 3D, il nous faut deux vecteurs. Donc deux vecteurs qu’on va appeler des vecteurs directeur.

Par exemple on va avoir un vecteur comme ça et puis un vecteur comme ça. Puis on va leur donner des noms simplement pour simplifier la vie, u et v.

Alors on n’est pas obligé de les mettre au même endroit, mais ce sera plus simple. Et un point de départ qu’on peut appeler O par exemple. Et donc ici on a un plan !

Alors c’est toujours difficile à dessiner en 3D, mais en gros on a un plan qui va ressembler à quelque chose comme ça : qui va partir de ce point et faire tout ce qu’on veut.

Combiner les deux vecteurs directeurs…

Qu’est ce que c’est un plan quand on a deux vecteurs ? Les combinaisons de ces deux vecteurs, si ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, ça représente un plan tout le temps.

Donc si je prends un point M par exemple, ce point M je vois que je peux écrire ça, comme une combinaison linéaire. C’est à dire k fois le vecteur V + k’ fois le vecteur U. Ici c’est un certain k * V, et ici c’est un certain k’ * U, c’est bien sûr pas le mêmes paramètres.

Tous les points, tu vas pouvoir les écrire comme ça. Autrement dit, tous les points M c’est le point d’origine plus k fois le vecteur U, plus k’ fois le vecteur V.

On remet tout ça ensemble pour comprendre les équations paramétriques de plans !

Alors peu importe les lettres que tu mets ici, on pourrait mettre s et t, c’est la même chose, ce qui importe ici c’est ça. Donc le point…, alors le point O ici ce n’est pas nécessairement le point (0, 0), tu vois que c’est un point avec (x_O y_O z_O). Le point M c’est n’importe quel point, donc c’est (x y z).

Et puis ensuite il va nous rester k * U. Donc U c’est une (U_x U_y U_z) et k’*V. Et donc là c’est pareil, c’est (V_x V_y V_z). Et donc là, il suffit maintenant de réécrire ça sous une autre forme pour avoir l’équation paramétrique du plan.

C’est x_O + k * U_x + k’ * V_x. De la même façon, y on va avoir y_O + k * U_y + k’ * V_y. Et z qui est égal à z_O + k * U_z + k’ * V_z.

Et donc là, on a bien l’équation paramétrique du plan qui est dessiné ici en gris. C’est à dire que n’importe quel point du plan qui va s’écrire (x y z), c’est simplement un point donné du plan plus k fois, donc premier paramètre (U_x U_y U_z),  plus encore k’ fois (V_x V_y V_z).

Donc c’est bien une combinaison linéaire du vecteur U et du vecteur V. Et donc n’importe quel point de ce plan peut s’écrire comme une combinaison linéaire de ces vecteurs.

Voilà comment tu peux comprendre les équations paramétriques de plans en 3D.

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