Dans cette vidéo je t'explique comment comprendre les équations paramétriques de plans en 3D.

Transcription de la vidéo

​Donc dans cette vidéo, on va voir comment comprendre les équations paramétriques de plans en 3D. Alors un plan en 3D, donc si on peut commencer, on va commencer avec un repère. Donc ici on fait un repère, dans ce repère, on a x y et z, donc x y et z, et pour avoir un plan en 3D, il nous faut deux vecteurs.

Donc deux vecteurs qu'on va appeler des vecteurs directeur. Donc par exemple on va avoir un vecteur comme ça et puis un vecteur comme ça. Puis on va leurs donner des noms simplement pour simplifier la vie, u et v. Alors on n'est pas obligé de les mettre
au même endroit, mais autant que ce sera plus simple. Et un point de départ qu'on peut appeler O par exemple. Et donc ici on a un plan, alors c'est toujours difficile à dessiner en 3D, mais en gros on a un plan qui va ressembler à quelque chose comme ça, qui va partir de ce point et faire tout ce qu'on veut. Donc qu'est ce que c'est un plan quand on a deux vecteurs ?

Les combinaisons de ces deux vecteurs si ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, eh
bien ça représente un plan tout le temps. En 2D tu vois que tu peux aller non colinéaires. Donc si je prends un point M par exemple, ce point M je vois que je peux écrire ça, comme une combinaison linéaire donc d'un vecteur et k fois le vecteur V, donc voilà, plus k fois un vecteur, un truc. Donc on avait une combinaison linéaire des deux vecteurs d'origine qui sont multipliées. Donc ici c'est un certain k * V, et ici c'est un certain k' * U, c'est bien sûr pas le mêmes paramètres. Donc ici tous les points, tu vas pouvoir les
écrire comme ça. Autrement dit, tous les points M c'est le point d'origine plus k fois le vecteur U, plus k' fois le vecteur V.

Alors peu importe les lettres que tu mets ici, on pourrait mettre s et t, c'est la même
chose, ce qui importe ici c'est ça. Donc le point..., alors le point O ici ce n'est pas nécessairement le point (0, 0), tu vois que c'est un point avec (x_O y_O z_O). Le point M c'est n'importe quel point, donc c'est (x y z).
Et puis ensuite il va nous rester k * U. Donc U c'est une (U_x U_y U_z) et k'*V. Et donc là c'est pareil, c'est (V_x V_y V_z). Et donc là, il suffit maintenant de réécrire ça sous une autre forme pour avoir l'équation paramétrique du plan. C'est x_O + k * U_x + k' * V_x. De la même façon, y on va avoir y_O + k * U_y + k' * V_y. Et z qui est égal à z_O + k * U_z + k' * V_z.

Et donc là, on a bien l'équation paramétrique du plan qui est dessiné ici en gris. C'est à dire que tous les points, n'importe quel point du plan, de ce plan gris qui va s'écrire (x y z), donc n'importe quel point c'est simplement un point de départ, un point donné du plan, ça pourrait être n'importe quel point du plan en fait ici, plus k fois, donc premier paramètre (U_x U_y U_z), ou bien plus encore k' fois (V_x V_y V_z). Donc c'est bien une combinaison linéaire du vecteur U et du vecteur V. Et donc n'importe quel point de ce plan peut s'écrire comme une combinaison linéaire de ce vecteur. Donc c'est comme ça qu'on
retrouve l'équation paramétrique d'un plan en 3D.

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