Comment faire sauter l’indétermination de la limite en ± infini d’un ratio de polynômes ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir comment faire sauter l’indétermination de la limite en plus ou moins l’infini d’un ratio de polynômes.

Qu’est-ce que ça veut dire ?

Dit comme ça c’est un peu violent ! En fait ce qu’on est entrain de regarder c’est limite d’un polynôme numéro 1 divisé par polynôme numéro 2. Et on va regarder la limite quand x tend vers plus ou moins l’infini.

Un polynôme ça tend toujours vers plus ou moins l’infini en l’infini. Ici on va donc toujours avoir quelque chose de la forme ± l’infini divisé par ± l’infini. Donc des formes indéterminées qui nous posent un problème.

La technique pour faire sauter l’indétermination d’une limite en l’infini d’un ratio de polynômes !

Et en fait, on va utiliser exactement la même chose que dans la vidéo précédente. C’est à dire qu’on va factoriser par le terme de plus haut degré, c’est comme ça qu’on va s’en sortir !

En fait, je vais écrire directement ce qu’il faut faire. C’est que ça en fait, c’est égal à la limite quand x tend vers plus ou moins l’infini du monôme de plus haut degré numéro 1 divisé par le monôme de plus haut degré du polynôme numéro 2.

Le cas général…

Là t’as deux monômes, et tu peux faire une simplification ! Puisque tu vas avoir quelque chose de la forme a x^b / c x^d, donc tout ça ça fait a/b…. Donc je vais l’écrire quand même pour se simplifier la vie.

Donc pour l’écrire de façon générique ici, ça ça va être la forme a*x^b, d’accord ? b c’est le degré le plus haut du polynôme et a eh bien c’est le facteur qu’il y a devant ce monôme. Donc il peut être négatif évidemment.

Et c’est divisé par c*x^d, ici même chose. d c’est le degré le plus haut du polynôme numéro 2, et c c’est le facteur qui est devant.

Cette chose là, c’est la limite quand x tend vers plus ou moins l’infini de a/c. Et ici il va rester x^(b – d). Donc là, on peut pas aller plus loin puisque ça va dépendre de cette chose là. Si cette chose-là est négative, ça va tendre vers zéro. Et si cette chose-là est positive, ça va tendre vers plus ou moins l’infini.

…Et un exemple pour bien comprendre.

Par contre ce qu’on peut faire c’est prendre un exemple tout de suite pour comprendre ces choses-là. On va prendre 3 x^3 + 2 x +1 divisé par, par exemple, 5 x^5 + 2 x^2 +3.

Peu importe ce qu’on prend en fait ici, ça ne change pas grande chose. Ce que je veux que tu comprennes c’est comment on fait ça ! Donc quand on regarde la limite de cette chose-là quand x tend vers plus ou moins l’infini, ça ça tend… vers plus l’infini, et ça aussi. Plus l’infini / plus l’infini, on a dit c’est une forme indéterminée.

Donc ce qu’on va faire, c’est on va factoriser en haut et en bas par le plus haut degré. Maintenant, on va avoir x… bon, je vais garder juste l’infini, ce sera plus simple, x^3(3 + 2/x^2), si on fait (2/x^2) * x^3, il reste bien 2x, plus 1/x^3, le tout divisé par x^5 (5 + 2/x^3 + 3/x^5).

Alors évidemment ici, tu te rends compte qu’il faut être très à l’aise avec les factorisations ! Ça fait partie des bases très importante à avoir dont je parle beaucoup dans Du Béton Sous les Tongs.

Ici, tu vois qu’en fait on peut simplifier ces deux choses là et garder ces deux facteurs ici. Alors, x tend vers l’infini, x^3 /x^5 ça fait 1/x2 ou bien x^-2, c’est la même chose. Et puis, il va rester ce qu’on multipliait ici, donc 2/x^2 + 1/x^3 le tout divisé par 5 + 2/x^3 + 3/x^5.

Et  maintenant, on est entrain de regarder la limite d’une multiplication ici, la limite de 1/x^2, eh bien on la connaît puisque x va tendre vers l’infini, x^2 va tendre vers plus l’infini, donc 1/x^2, ça ça tend vers zéro, et qu’est ce qui se passe ici ?

C’est que 2/x^2 quand x tend vers l’infini, ça tend vers 0. Je te renvoie vers la vidéo précédente… tout ça ça tend vers zéro. Cette chose là, ça tend vers 3 /5, d’accord ? N’oublie pas que tu as 3 et 5 ici qui traînent, tout ça ça tend vers zéro, mais ici il te reste 3/5.

Donc en fait, t’es entrain de regarder la limite d’une multiplication de quelque chose qui tend vers zéro fois quelque chose qui tend vers 3/5, eh bien ça ça fait zéro.

Au final…

D’une limite sous forme indéterminée, plus l’infini sur plus l’infini, en factorisant par le plus haut degré en haut et en bas et en simplifiant, on transforme ça en la limite d’une multiplication que tu sais faire.

La première partie tend vers zéro, la deuxième tend vers 3/5. Or la limite de cette multiplication c’est la multiplication des limites, et c’est zéro. Donc c’est exactement ce que j’ai écrit là sous forme générique.

Tu vois qu’ici a x^b, eh bien en fait, ça va être 3 x^3, c x^d ça va être 5 x^5. Donc il va te rester a/c, a/c c’est 3/5, et b – d, ça faisait 3 – 5, ça faisait -2. C’était donc bien 1/x^2.

A partir de là, eh bien tu peux faire les choses simplement. Voilà comment tu peux faire sauter l’indétermination de la limite quand x tend vers l’infini d’un ratio de polynômes.

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