Dans cette vidéo on va voir comment mettre à la puissance un nombre complexe qui est sous la forme exponentielle.
On va prendre z qui va s’écrire |z|e^iθ avec θ qui est l’argument de z, bien entendu. Alors on va pas le faire sous forme algébrique parce que ça devient vite très compliqué en fait !
Mettre à l’exposant 3 un nombre complexe c’est quelque chose de très embêtant. Alors qu’ici, ça va devenir extrêmement simple.
Mettre à la puissance un nombre complexe sous forme exponentielle ? Easy !
Si on veut calculer z à l’exposant n, ça va être (|z| e^iθ )^n, et ça c’est rien d’autre que du calcul classique. C’est à dire qu’ici on a |z| * e^iθ, le tout à l’exposant n.
Donc ça veut dire |z|^n * (e^iθ )^n ! Et j’ai dit : l’exponentielle complexe a les mêmes propriétés que l’exponentielle réelle.
Donc ici (e^iθ )^n c’est (e^a)^b, c’est e^(a*b). Donc on garde |Z|^n * e^((iθ )*n), qu’on peut aussi l’écrire |z|^n e^inθ. Qu’est ce qu’on en déduit ?
On en déduit que |z^n| eh bien c’est |z|^n, et que arg(z^n) c’est n arg(Z) ! Puisqu’ici nθ c’est bien n*arg(z).
C’est donc extrêmement simple puisque l’exposant ici devient une multiplication au niveau des arguments. Et reste un exposant au niveau des modules.
Quand tu vas mettre un nombre complexe à la puissance quelque chose, le plus simple c’est de l’écrire sous forme exponentielle. Et de le mettre la puissance sous le forme exponentielle, ça te rendra les choses beaucoup, beaucoup plus simples.
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