Comment montrer qu’une fonction est une densité de probabilité ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir comment montrer qu’une fonction f est une densité de probabilité.

Lois à densité ou Lois continues.

La première chose c’est de se rappeler dans quel contexte on est. Ici on est dans le contexte des lois de probabilité à densité.

Alors, « à densité » c’est la même chose que les lois de proba continues. Il y a deux termes ici, ça arrive parfois, loi à densité ou loi continue en proba, c’est exactement la même chose.

Et ces lois, elles sont toujours définies à partir d’une fonction f. Et cette fonction, eh bien, on va l’appeler la « densité de probabilité ».

Qu’est ce que c’est une densité de proba ?

C’est une fonction qui va définir une loi de proba. Et cette fonction ici, cette densité de proba, elle a deux caractéristiques importantes.

  • La première c’est que f elle doit être positive quelque soit x appartenant au domaine de définition de f, on va voir ça plus loin.
  • La deuxième caractéristique c’est que l’intégrale sur R de f(x) dx est égal à 1. 

Alors là, je vais y revenir parce qu’il y a une petite subtilité. R c’est moins l’infini, plus l’infini. Alors pourquoi 1 ici ? Eh bien simplement parce que la probabilité de tout le domaine, il faut que ce soit 1.

C’est l’équivalent de la probabilité de l’univers vaut 1. Alors ici j’ai mis R, il faut faire attention parce que suivant les exercices, on va te dire : soit t’intègres sur R, soit t’intègres sur le domaine de définition.

En fait ce qu’il y a c’est que la fonction qui est densité de proba, elle est définie, tu peux toujours l’avoir comme étant f(x) égal f(x) sur Df, et 0 ailleurs.

Donc même si ta fonction elle est définie sur un domaine de définition qui est plus petit que R… il suffit de la prolonger en disant que le reste c’est zéro et donc tu pourras faire ton intégrale, calculer ton intégrale sur R.

Alors, ça arrive qu’on te le définisse explicitement, qu’on te dise : eh bien en dehors du domaine de définition c’est zéro. Si on ne le fait pas, il faut que tu y penses.

Sinon globalement en fait, ça revient exactement à faire l’intégrale sur le domaine de définition de f. Dans la définition quand même normalement, on utilise R, il faut que ça soit l’intégrale sur R, pour autant tu verras dans les exos que ça peut évoluer.

Comment montrer qu’une fonction est une densité de probabilité ?

Eh bien, tu vas vérifier premièrement que f(x) positif pour tout x du domaine de définition ! Ça c’est rarement compliqué.

Et deuxième chose, c’est pas toujours aussi simple là pour le coup, c’est tu vas intégrer sur R, f(x) dx. Donc ça, j’ai dit c’est la même chose que d’intégrer sur f(x) sur le domaine de définition de x ici puisque on va considérer que f vaut 0 en dehors du domaine de définition.

Et donc là, ça dépend de la fonction que t’as bien sûr. Alors c’est à toi de maîtriser les intégrales, et les primitives en priorité. Tu vas chercher une primitive de f(x), tu vas calculer l’intégrale et tu dois vérifier que ça vaut 1.

Récap.

Si ta fonction est strictement positive et que son intégrale sur R vaut 1, eh bien, c’est bien une fonction qui définit une probabilité !

Donc on pourrait associer une loi de proba à cette fonction là. Autrement dit,  cette fonction-là est une densité de probabilité.

Un type d’exercice possible.

Ce que tu pourrais voir plutôt dans les exos, c’est qu’on te donne une fonction f qui dépend d’un paramètre, un petit paramètre, m par exemple. Et on va te demander de trouver m tel que cette fonction soit une densité de proba.

C’est plutôt dans ce sens-là que tu vas le voir dans les exos. Pour faire ça, eh bien pareil, tu vas vérifier que pour tout m, enfin quelque soit m, ta fonction elle bien positive.

Et ensuite, tu vas intégrer avec le paramètre, c’est à dire tu vas faire ton calcul d’intégrale qui va dépendre de ton paramètre. Puis tu vas calculer ce paramètre tel que l’intégrale vaille 1.

Une fois que t’auras ce paramètre, tu le réinjectes dans la fonction d’origine et tu sauras que cette fonction là est bien une densité de proba puisque son intégrale vaut 1.

Voilà comment tu peux montrer qu’une fonction f est une densité de probabilité.

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