Dans cette vidéo, on va voir comment multiplier 2 nombres complexes sous forme algébrique. Et on fera dans la prochaine vidéo sous forme exponentielle parce que c’est beaucoup, beaucoup plus simple !
Mais pour le moment on va s’intéresser à la forme algébrique. Donc a+ib, a et b appartiennent aux réels, et puis un deuxième z’, et on va appeler c+id, et c et d appartiennent aux réels.
Et on veut les multiplier, donc on va regarder z*z’ qu’on peut aussi l’écrire z z’. (la plupart du temps on ne va pas s’embêter avec la multiplication). Donc qu’est ce que c’est ?
Multiplier 2 nombres complexes sous forme algébrique ? Du calcul, rien d’autre !
Eh bien on a juste à faire le calcul ici, d’accord ? Donc on remplace z et z’ c’est (a+ib) (c+id). Donc là, il faut être à l’aise avec le calcul littéral mais c’est tout ce qu’il y a à savoir.
Si t’es pas à l’aise, je t’invite si tu regardes sur le site, tu trouveras le programme du béton sur les tongs qui va te permettre de maîtriser les bases de maths, et en particulier celle ci.
Le développement…
Donc ici on développe ac+a*id, d’accord ? Ici je vais l’écrire comme ça et puis on verra que c’est que des multiplications, +ib*c +ib*id, donc ici à chaque fois id ou ib c’est i*d ou i*b, exactement comme du calcul littéral normal.
Ici on n’a pas de i, on va avoir ac, ici on va avoir +iad +ibc +, et là attention, i^2bd, ça fait ça, i^2bd, i^2 c’est -1. Donc ici on va obtenir ac-bd, ça ça va être la première partie.
Et puis là on peut factoriser par i, i(ad+bc). Donc la multiplication de deux nombres complexes a + ib et c + id, ça va donner comme partie réelle ac-bd et comme partie imaginaire ad+bc.
Voilà pour le point de vue calcul pur, c’est-à-dire sous la forme algébrique. Tu vois qu’il ya rien de spécial, on a fait du calcul littéral en gardant le i, on se rappelle que i^2 c’est égal à 1. Et on a juste à développer, réduire et on obtient ce qui nous intéresse.
Comme toujours on met la partie réelle d’un côté et la partie imaginaire de l’autre. Voilà comment multiplier deux nombres complexes sous forme algébrique.
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