Dans cette vidéo, on va voir comment retrouver l’équation de la tangente très facilement. On peut prendre n’importe quelle fonction, on va tracer une fonction ici, et on va tracer sa courbe.
Alors traçons la courbe. On prend une courbe quelconque par exemple celle-ci. Et on veut se rappeler comment on trouve l’équation de la tangente ? En un point bien sûr !
Retrouver la formule de l’équation de la tangente !
Ici on va regarder l’équation de la tangente à la fonction f en, par exemple, x = – 2. Donc on va dire – 1, – 2, la courbe rouge c’est bien la courbe représentative de f évidemment. Et donc qu’est-ce que c’est la tangente ici ?
Alors premièrement c’est une droite… qui va être tangente à la courbe ! Autrement dit, on va venir toucher la courbe ici et ensuite c’est une droite. C’est une droite, on sait ce que c’est la tangente à peu près, c’est quelque chose qui va passer comme ça.
Alors comment on retrouve l’équation de cette tangente c’est ça qui est intéressant ici ! Si on fait les choses la main ici, la fonction bleu ici et bien c’est ce point là auquel on va rajouter, à chaque fois qu’on va se décaler on va regarder de combien on se décale par rapport à -2 !
Si par exemple on est sur un point x qu’on va prendre ici, x ici comment on trouve ce point là ? Eh bien on prend, on part de celui-ci et on vient regarder l’écart entre x et -2. Si ça fait bien l’écart, c’est x – donc c’est x+2 et la pente qui est donnée ici…
Pente de la tangente = nombre dérivé !
La pente de la tangente, c’est la dérivée de la fonction au point d’origine. Donc la pente ici c’est f'(2). Autrement dit quand on veut un point sur la tangente qu’est ce qu’on fait ?
On part de f(2) et puis on va ajouter la pente, fois l’écart au point d’origine donc (x-2), D’accord ? C’est exactement ça qu’on fait ici on part du point qui est ici. Et on regarde de combien on s’est écarté de ce point là sur les x. Puis on multiplie par la pente de cette droite.
Et la pente de la tangente c’est la dérivée. Donc ici on a la pente et ici on à l’écart au point qu’on regarde et ça c’est le point de départ. De manière générale ici on a le point de départ, ici on a la pente et ici on à l’écart au point qui nous intéresse.
Généralisation
Donc l’écart à x-2 ici. Donc si on veut généraliser ça, on a équation de la tangente à f en a, eh bien comment on trouve ça ? On trouve f(a) à quel point de départ on a dit. Puisqu’on sait que ça touche à cet endroit là, la tangente à f en a, elle passe par f(a).
Donc ça c’est le point de départ. Après, la pente de la tangente en a c’est f'(a), ça c’est par définition. Et ensuite on regarde les cas jusqu’au point a donc x-a. Et donc là on a trouvé l’équation de tangente !
C’est bien y= f(a) + f'(a)*(x-a). Parce que ça c’est une pente, on multiplie par l’écart en x et a on va trouver l’écart en y ! Donc on va se balader sur cette droite là donc si on refait exactement la même chose, mais par exemple en ce point là.
Autre exemple
Là, exactement pareil, ici on va dire que ça c’est le point 3 par exemple. Donc cette fois ci si on le fait avec x = 3. Ici on a bien f(3), ça c’est le point de départ, D’accord? Il est ici f(3), point de départ.
La dérivée ici elle donnée par f'(3). Qu’est ce qu’on fait ? On regarde l’écart pour trouver un point x qui est ici par exemple. Eh bien on regarde l’écart entre x et 3 donc cette distance ici c’est bien x-3. Et on la multiplie par la dérivée.
Donc on va bien obtenir f(3) le point de départ, plus f'(3) la pente, multiplié par l’écart au point de départ (x-3). Comme ça tu peux te rappeler en permanence juste en revenant au graphique… Et en disant que c’est le point de départ plus la pente fois l’écart au point de départ.
T’auras plus qu’à reprendre et réécrire ça en termes de math pour retrouver la formule que tu veux toujours retrouver.
Pour en être sûr parce qu’au lieu d’avoir un coup tu vas mettre un plus ici, un moins ici, un moins ici, un plus ici… Si tu veux être sûr de ce que tu fais reprend ça graphiquement ! C’est simplement je prends le point de départ et ensuite je rajoute la pente fois l’écart à ce point de départ.
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