Qu’est ce que le conjugué d’un nombre complexe ?

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Retranscription

​Dans cette vidéo on va voir ce qu’est le conjugué d’un nombre complexe.

Alors si on prend un nombre complexe z, allez, pour une fois je vais l’appeler a + ib, d’accord ? Tu sais que a et b appartiennent aux réels.

Le « conjugué » du nombre complexe z ?

Eh bien il y a un nombre complexe associé qui est intéressant et qu’on va noter z barre, qui va s’appeler le conjugué, et qui est égal à a – ib. Alors c’est celui là qui nous intéresse ici !

C’est donc lui-même un nombre complexe, et il est associé au complexe z = a + ib.  Ce « conjugué » du nombre complexe z, je vais l’écrire comme ça, conjugué de z = a – ib. Autrement dit c’est parti réelle de z – i partie imaginaire de z.

Alors pourquoi il est intéressant celui là ?

Parce qu’il va nous donner quelques propriétés intéressantes ! Avant tout, la seule chose que tu as à retenir c’est pour passer au conjugué d’un nombre complexe, il suffit de prendre moins la partie imaginaire, d’accord ?

Le propriétés intéressantes

Alors on va voir il y a plusieurs choses qui nous intéressent. En particulier une propriété, c’est que z fois z barre, autrement dit (a+ib) * (a-ib), et là tu reconnais une égalité remarquable, eh bien ça nous fait quoi ?

Ça nous fait a^2 – (ib)^2, et c’est là où il faut faire un peu attention, (ib)^2 c’est bien i^2 b^2 et i^2 c’est -1, donc ça ça fait a^2 + b^2.  Et ça, c’est exactement |z|^2 ! Puisque tu vois qu’on n’a pas la racine ici. Ça c’est la première propriété.

Une deuxième propriété qu’on va utiliser de temps en temps, si on fait un demi de la somme de z plus z barre, qu’est-ce qu’on va obtenir ? On obtient 1/2(a+ib+a-ib).

Bon mais qu’est ce qui se passe ici ? +ib-ib ça se simplifie, il nous reste 1/2* 2a. Donc il nous reste a, a c’est quoi ? C’est la partie réelle de z. Donc on a une deuxième formule c’est un demi d’un nombre complexe plus son conjugué est égal à la partie réelle du nombre complexe.

Et de la même façon, si on fait 1/2i (z – z barre) cette fois, évidemment tu vas voir qu’on va retomber sur quelque chose de logique. 1/2 (a + ib – (a – ib)), et on n’oublie pas les parenthèses ici, et ça ça fait quoi ça fait un demi de a + ib – a donc les a vont se simplifier, il va rester +ib – (-yb), donc +ib. donc 1/2i, j’avais oublié le i ici, fois 2ib. Évidemment, les 2i se simplifient, il nous reste b, c’est tout l’intérêt et b c’est la partie imaginaire de z.

Et géométriquement ?

Donc une petite dernière chose qui est intéressante à regarder avec le conjugué, c’est ce qui se passe géométriquement ? Donc on va prendre un nombre complexe, ça c’est l’affixe d’un certain point et z ça s’écrit x+iy.

Ici j’ai repris la notation classique. Et on a dit le conjugué de z c’est prendre la partie imaginaire comme contraire. Attention ici, ici on lit la partie réelle et ici la partie imaginaire. Donc ici, ça va pas changer pour le nombre complexe, ça c’est x et ça c’est y.

Maintenant, si on veut le conjugué, c’est simplement prendre la symétrie c’est à dire qu’au lieu de prendre y, on va prendre -y. Donc si on prend -y, on fait la même chose, on trace ici, on a dit on a la même partie réelle.

Eh bien le conjugué, il est ici, d’accord ? Donc z barre, il est ici et z barre c’est x -iy, d’accord ? Quand on prend le conjugué, on fait une symétrie par rapport à l’axe des abscisses. C’est pour ça qu’on change le signe que de la partie imaginaire.

Donc retiens ça : graphiquement, le conjugué d’un nombre complexe c’est le point qui est symétrique par rapport à l’axe des abscisses. Donc voilà, on a vu tout ce qu’on pouvait voir sur le conjugué d’un nombre complexe.

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