Qu’est-ce que la forme exponentielle d’un nombre complexe ?

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Retranscription

Dans cette vidéo on va voir la forme exponentielle d’un nombre complexe. On va prendre z=x+iy, comme toujours x et y appartiennent aux réels.

De la forme polaire à la forme exponentielle d’un nombre complexe !

Et on va réutiliser la forme polaire. On a dit c’est module de z fois cosinus de l’argument de z + i sinus de l’argument de Z, d’accord ?

Bon, on peut le réécrire plus simplement, on va appeler argument de z, téta, ce sera quand même plus agréable : |z|* ( cos(θ) + i sin(θ) ), d’accord ?

Formule d’Euler et exponentielle complexe

Ce qu’on va faire c’est qu’on va définir une exponentielle complexe par la formule qu’on va appeler formule de l’Euler? On va dire que e^iθ c’est cos(θ) + i sin(θ).

Et ça, ça va être extrêmement utile et ça va simplifier bien des calculs ! Retiens bien cette chose-là, ça s’appelle la formule de l’Euler, d’accord ? C’est ce qu’on appelle la formule de l’Euler et cette formule elle est extrêmement utile. Et Euler, c’est le mathématicien. La formule d’Euler définit donc ce qu’est l’exponentielle complexe.

Application directe !

Maintenant, si tu vois, on veut l’appliquer à z, d’accord ? Puisque z c’était module de z fois cos(θ) + i sin(θ), ça c’est que la partie qui nous intéresse.

Donc z, sa forme exponentielle c’est |z|*e^iθ. C’est ça c’est la forme exponentielle de z. Et c’est extrêmement important.

Alors pourquoi on appelle ça une exponentielle ?

Parce qu’en fait, cette forme ici cos(θ) + i sin(θ), eh bien ça a les mêmes caractéristiques que l’exponentielle. C’est à dire qu’on va avoir e^iθ que multiplie e^iθ’ qui est égal à e^i(θ+θ’), donc quelque chose que tu connais habituellement.

Pareil avec la division, et puis e^θ à l’exposant n, ça va être e^inθ. Bon ça c’est les deux principales propriétés qu’on va utiliser. Ol y en a d’autres, mais c’est ça qu’il faut que tu retiennes en fait.

Pourquoi ça s’appelle une exponentielle ici, exponentielle complexe ? Eh bien parce que les propriétés sont les mêmes. Donc si tu connais ton exponentielle, tu connaîtras ton exponentielle complexe.

La seule chose à retenir en fait c’est la partie cos(θ) + i sin(θ). Donc voilà tout ce qu’il avait à dire sur la forme exponentielle du nombre complexe z.

Et on verra dans les vidéos suivantes comment utiliser cette forme et pourquoi ça nous aide vraiment beaucoup.

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