Qu’est-ce que la forme trigonométrique d’un nombre complexe ?

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Retranscription

Dans cette vidéo on va voir la forme trigonométrique (ou polaire) d’un nombre complexe. Toujours pareil, on prend un autre nombre de complexe, alors aujourd’hui je vais encore l’appeler a+ib, a et b appartiennent aux réels.

Comprendre la forme trigonométrique d’un nombre complexe par le graphique !

Et on va passer dans le graphique directement pour comprendre d’où ça sort. Donc là je vais dire que mon point M, il est ici, mon point M c’est mon point d’affixe Z. Autrement dit, c’est mon point de coordonnées (a,b).

Module et argument de z

Ici je trace OM c’est à dire le segment qui relie l’origine au point M. Et là, qu’est ce que je vois en fait ? Je vois qu’on est en train de travailler dans un triangle rectangle comme on aime bien le faire.

Alors qu’est-ce qu’on sait dans ce triangle rectangle ? On sait plusieurs choses ! En particulier on sait que cette longueur OM ici c’est module de z, et que l’angle ici c’est argument de z, d’accord ?

Donc au lieu de ces deux choses, alors on va l’appeler téta, ce sera plus simple. Et donc comment est-ce qu’on peut positionner ce point ici ? Comment est-ce qu’on peut l’écrire ?

Eh bien pour savoir comment on va l’écrire, il suffit de regarder quelle est cette longueur en fonction de téta et de module de z. Donc ça c’est b et ça c’est a.

La trigo, toujours la trigonométrie…

Si on regarde ce qu’est a, a c’est égal à quoi ? a c’est l’adjacent ici, l’angle il est ici et le module est ici. Alors je vais plutôt commencer comme ça, cosinus téta c’est adjacent sur hypoténuse. L’adjacent c’est a, sur hypoténuse module de z, d’accord ?

De ça on en déduit quoi ? On en déduit que a c’est |z| * cos(θ). De la même façon, on va faire que sin(θ), eh bien ça va être b sur module de z, et donc on va en déduire que b est égale à |z| * sin(θ). Alors à quoi ça nous sert tout ça ?

Au final, la forme trigonométrique :

On reprend ce qu’est z, c’est a+ib, et qu’on remplace a et b par ce que je viens d’écrire, on va obtenir |z| cos(θ) + i |z| sin(θ), d’accord ? Bah là on peut mettre module de z en facteur. Module de z il est facteur de quoi ?

Il est facteur de cos(θ) + i sin(θ). Eh bien je vais m’arrêter là parce que c’est ça qu’on appelle la forme trigonométrique du nombre complexe ou la forme polaire : |z|*(cos(θ) + i sin(θ)).

Donc ça c’est forme polaire ou trigonométrique de Z. Donc qu’est ce que c’est ? Eh bien c’est le module de z multiplié par cosinus de l’argument plus i sinus de l’argument.

Donc il faut toujours que tu fasse le lien dans les nombres complexes entre l’algèbre, les calculs en fait sous la forme algébrique a + i b, et la version trigonométrique, la version géométrique c’est à dire module de z que multiplie cosinus téta plus i sinus téta.

Voilà tout ce qu’il ya à dire sur la forme trigonométrique d’un nombre complexe !

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