Qu’est-ce que la limite d’une fonction en l’infini ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir ce qu’est la limite d’une fonction en plus ou moins l’infini.

C’est forcément la même idée que dans la vidéo précédente sauf qu’ici on va travailler en l’infini, donc on va regarder la limite d’une fonction f en ±∞, d’accord ?

Comprendre la limite d’une fonction en l’infini !

Donc la limite c’est toujours la limite d’une fonction ! Et cette fois-ci, c’est pas en un point, mais c’est en plus ou moins l’infini. C’est les mêmes idées : vers quoi tend f(x) quand x tend vers ±∞ ?

Cette fois-ci, donc x va tendre vers l’infini et on regarde toujours vers quoi tend f(x). On va faire comme j’ai déjà fait pour bien comprendre ce qui se passe…

On va regarder en premier le +∞. Donc x tend vers plus l’infini, on sait que ça veut dire que x va vers là-bas, ça c’est les x qu’on lit, et donc là on va vers l’infini à droite.

Sur un exemple…

Et ici, on va lire y=f(x). On a la courbe d’une fonction, alors par exemple, eh bien je sais pas, je vais prendre une fonction qui fait comme ça, voilà.

Et donc l’idée c’est en gros : si on prend un x et qu’on reste sur la courbe en faisant tendre x vers plus l’infini. Ça veut dire qu’on va faire aller x le plus à droite possible…

La différence entre la limite d’une fonction en un point en l’infini :

La différence avec le point c’est que tu peux pas le visualiser puis-qu’ici l’infini c’est aussi loin que tu veux en fait, ça s’arrête jamais. Et donc c’est vers quoi tend ?

Vers cette courbe. Donc tu regardes la courbe, tu vois qu’ici, on n’a pas la suite, mais globalement ça ressemble à quelque chose qui est la fonction 1/x.

Eh bien 1/x en plus l’infini, tu vois que ça va devenir 1 sur un chiffre très très grand puisque x va devenir très très grand, 1 sur un chiffre très grand, ça devient pas négatif, ça se rapproche très fortement de zéro.

Donc ici, x eh bien il tend vers l’infini et la fonction en bleu ici, la courbe, elle va venir s’écraser sur l’axe des abscisses, donc en fait sa limite eh bien ça va être 0, d’accord ?

Parce qu’il faut que tu comprennes : ça c’est f(x) et si on regarde ce qui se passe quand x part vers la droite. Eh bien tu vois, on va vers un point ici par exemple, on va avoir une nouvelle valeur, encore une nouvelle valeur, encore une nouvelle valeur.

Et si tu regarde ce qu’est entrain de faire f(x), en fait avec f(x) est entrain de diminuer, de diminuer, diminuer, diminuer, et si la courbe bleue ne passe pas de l’autre côté de l’axe des abscisses, eh bien ça va venir s’écraser sur le point qui ici. Et la valeur de f(x) ici, eh bien c’est zéro, d’accord ?

La notion de limite.

Donc même si on ne va jamais aller jusqu’à 0, le fait de venir t’écraser contre l’axe des abscisses, c’est bien ta limite ça va être zéro. Autrement dit, la valeur de la limite c’est pas nécessairement une valeur de la fonction.

Tu vois par exemple ici, dans ce cas là, si ça vient s’écraser contre 0, mais que c’est jamais 0. Pourtant la limite ça va être zéro, mais la fonction elle ne vaudra jamais 0. C’est le cas de 1/x.

Donc c’est vraiment vers quoi tend la fonction quand x tend vers l’infini ?

Et donc, tu pourrais faire exactement la même chose en symétrie pour moins l’infini. Ce qu’il faut bien que tu découples c’est que c’est x qui tend vers plus ou moins l’infini, donc c’est l’axe des abscisses et les valeurs des abscisses. Mais ce que toi tu regardes : la limite c’est une valeur sur les ordonnées, d’accord ?

C’est une valeur vers laquelle tend f(x). Ici la question que tu dois te poser quand tu cherches la limite d’une fonction f en plus ou moins l’infini c’est vers quelle valeur va f(x) quand x va vers plus au moins l’infini.

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