Qu’est-ce que la limite d’une fonction en un point ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir ce qu’est la limite d’une fonction en un point. On va donc regarder une fonction, par exemple petit f. Et sa limite en un point et là en général, on l’appelle ‘a’, d’accord ?

L’idée générale

Donc il y a plusieurs infos importantes ici, si on regarde la limite de cette fonction en un point.  C’est à dire quand x va tendre vers a.

Déjà, une traduction un peu à la main de ce que ça veut dire : ça veut dire vers quoi tend f(x) quand x tend vers a ? Ça c’est vraiment la traduction de la limite d’une fonction f en un point.

Qu’est ce que la limite d’une fonction ? Eh bien, c’est la valeur vers laquelle tend f(x) quand x tend vers a.

Rappel sur les fonctions… !

Alors on va regarder rapidement un petit rappel tout simple sur une fonction et ce qu’est une fonction. Alors je prends une fonction simple, continue, sans problème.

Donc une chose intéressante c’est que si on a un point x ici, on se rappelle que la valeur en y du point qui appartient à la courbe et qui a pour abscisse x ici c’est y = f(x), d’accord ?

Cette fonction, cette courbe ici c’est la courbe représentative de la fonction. Donc f(x), il faut t’en rappeler, ça tu le sais normalement depuis longtemps, f(x) c’est les y, donc tu le lis sur les ordonnées.

La limite d’une fonction f en un point ?

En gros, quand tu dis « vers quoi f(x) tend ? », c’est vers quelle valeur sur les ordonnées f(x) va tendre. Alors si je prends un point a, par exemple un point a ici, ce qu’on va vouloir c’est regarder quand x tend vers a.

Autrement dit, on part de x ici et on fait aller x vers a. Alors ça peut être de l’autre côté ! Ici je l’ai pris à droite et on va regarder comment ça se comporte sur la courbe. Eh bien tu vois que sur la courbe si tu restes sur la courbe et que x tend vers a, on va arriver à ce point là, et ce point là, eh bien c’est une certaine valeur ici, dans ce cas là, c’est f(a).

Et tu vas pouvoir dire que f(x) tend vers f(a), tu vois qu’ici, on va bien de là vers là, tend vers f(a) quand x tend vers a. ça c’est un cas spécial, on pourrait faire d’autres cas.

En fait c’est ça que tu dois comprendre, c’est ce lien entre x et f(x), d’accord ? Et la courbe f qui elle va rejoindre les deux. Donc en gros, quand tu vas regarder une limite de x tend vers a, tu vas regarder comment se comporte la fonction quand tes abscisses tendent vers le point a.

Dit d’une autre manière :

Autrement dit, tu pars d’un point quelconque et tu le fais aller vers a ! Tu fais aller ses abscisses vers le point a, et tu regardes un restant sur la courbe.

Si on part ici c’est comme ça, et puis si on était parti d’un point x qui est là par exemple, c’est peu importe en fait, le but c’est de regarder comment ça se comportent.

Eh bien là, si tu fais aller de ce x là qui est un nouveau x, donc on va l’appeler x’, vers a, eh bien tu vois que la courbe a fait ça, et puis elle va tendre vers ce point là.

Une autre exemple de limite en un point.

Alors je vais te donner juste un autre exemple pour te montrer que c’est pas toujours aussi simple. Donc par exemple, si je prends la courbe de 1/x c’est quelque chose qui a cette forme en gros, bon c’est assez mal dessiné, mais peu importe.

Et si tu regardes la limite quand x tend vers zéro, donc zéro c’est évidemment le point milieu ici, x tend vers zéro… Eh bien, tu vois que la fonction, si tu tends à partir de la droite, la fonction est là, elle va tendre vers plus l’infini !

Puisque 1/0, 0 c’est un point qui n’appartient pas au domaine de définition, et donc ici ça va tendre vers plus l’infini à droite et moins l’infini à gauche.

Donc c’est pas toujours aussi simple que ce que j’ai dessiné au dessus. Ce qui est important ici, et ce qu’il faut que tu comprennes, c’est ce qu’est la limite d’une fonction f en un point a, c’est la valeur vers laquelle va f(x) quand x se rapproche de a.

Et il peut y avoir une seule valeur ou il peut y en avoir deux, à gauche et à droite.

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