Comment visualiser le lien entre loi à densité et intégrale ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir comment visualiser le lien entre loi à densité et intégrale.

Loi à densité.

On va prendre une loi à densité, on va appeler ‘f’ la densité et on va la tracer. En gros, ce qu’on sait d’une loi à densité ? Finalement ça peut être n’importe quoi, on sait que c’est une fonction positive et que son intégrale sur tout le domaine vaut 1.

L’exemple de la loi normale.

Alors je vais en prendre une que tu verra très certainement, rapidement qui ressemble à ça voilà, qui fait une sorte de cloche ici, alors elle peut être centrée plus ou moins à certains endroits, peu importe.

Tu en verras autant que tu veux et donc cette fonction là c’est… enfin la courbe que j’ai dessiné là c’est la courbe de la fonction f. Alors, ce que tu sais puisque la fonction f est une densité de probabilité, tu sais que cette fonction est toujours positive et tu sais aussi que son intégrale, donc l’intégrale de f(x) dx vaut 1 quand t’intègres sur tout le domaine, ici R.

Visualiser le lien entre ‘loi à densité’ et ‘intégrale’.

Cette intégrale là c’est quoi ? C’est l’aire qui est sous cette courbe ici, d’accord ? Donc c’est toute l’aire qui est ici.

En fait, la probabilité que tu vas calculer à partir de la loi à densité, c’est l’aire qui est sous la courbe ! C’est pour ça que tu as besoin en fait que l’intégrale totale soit 1.

Puisque si t’intègres sur tout le domaine en gros, tu es entrain de regarder la probabilité de l’univers. La probabilité de l’univers, même dans le cas des lois discrètes, c’est la même chose, ça vaut 1.

Donc le lien visuel entre la loi à densité et l’intégrale, c’est qu’en fait l’intégrale d’une fonction positive c’est son aire sous la courbe !

Ici l’aire sous la courbe totale, elle vaut 1, c’est ce qui représente la probabilité de l’univers. Donc il y a bien un lien entre graphiquement, ton aire et ta valeur de probabilité.

Pourquoi on reste entre 0 et 1 ?

Ce qui veut dire maintenant que si tu n’intègres pas sur tout le domaine mais que sur un bout, tu vas nécessairement être entre 0 et 1, puisque la fonction est positive, comme dans le cas des probabilités discrètes.

Ta probabilité, tu sais que c’est quelque chose qui est toujours entre 0 et 1. Même chose ici. Si maintenant j’enlève tout ce que j’avais dessiné ici et que je prends juste un petit bout. Eh bie, ma variable, elle pourrait se promener entre ces deux valeurs. Quelle est la probabilité d’être entre ces deux valeurs ?

C’est l’aire sous la courbe sur ce domaine-là. Donc si ici j’ai a et si ici j’ai b, En fait, j’ai la probabilité que ma variable aléatoire ici qui suit la loi à densité qui a pour densité f, appartiennent à [a,b].

Ca c’est égal à l’intégrale ici entre a et b de f(x) dx. Et cette intégrale c’est toujours plus petit que 1 puisque c’est toujours un sous-ensemble de l’intégrale totale sachant que l’intégrale totale vaut 1 !

Au final, il faut vraiment que tu saches faire ce lien entre l’intégrale, la probabilité et graphiquement l’aire sous la courbe à laquelle ça correspond.

Si tu arrives à faire ce lien entre ces trois éléments, tu vas pouvoir plus facilement comprendre les formules que je vais te montrer juste après dans les vidéos suivantes.

Voilà comment tu peux visualiser le lien entre la proba d’une variable qui suit une loi à densité et l’intégrale qui lui correspond.  ​

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