Quels sont les liens entre les nombres complexes et les vecteurs ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir quels sont les liens entre les nombres complexes et les vecteurs.

Affixe d’un complexe et coordonnées d’un point.

Bon, dès le départ, on a dit un nombre complexe c’est l’affixe d’un point. Ici,  z c’est x+iy, on a dit bien sûr, on a le point x ici et le point y ici, alors z c’est l’affixe du point qui est ici qu’on va appeler A ou M ou n’importe comment, et qui est de coordonnées (x,y).

Les liens entre nombres complexes et vecteurs.

Mais en fait, si on regarde un peu les choses un point dans l’espace c’est toujours aussi un vecteur. Un point c’est toujours le vecteur qui va de l’origine vers ce point là.

Le lien de base entre affixe et vecteur.

Donc en fait, quand je dis A de coordonnées (x,y) en fait, je pourrais aussi dire que OA est de coordonnées (x,y), et OA ça serait un vecteur ! C’est donc toujours la même chose.

En fait, ce que représente un complexe c’est à la fois une partie réelle et une partie imaginaire. Autrement dit un déplacement selon les x et un déplacement selon les y.

En effet, je peux le placer en partant du centre et dans ce cas là, je vais placer directement mon point !

Et le lien général.

Mais en fait je peux faire exactement la même idée, donc si je pars ici, je fais mon repère, et puis dans ce repère, eh bien je vais regarder un vecteur. Ce vecteur-là, on va l’appeler par exemple AB.

On a donc un vecteur AB ici, c’est un déplacement en x, et un déplacement en y ici. Si on veut, ici on va avoir un x et puis un y. En fait, le vecteur AB, il est aussi représenté par z=x+iy.

Bien sûr, le x et le y, ne sont pas les mêmes que ici, mais ça veut dire quoi ? Ça veut dire qu’en fait c’est à chaque fois un nombre complexe, il va nous donner un déplacement en x et un déplacement en y.

Si je décale ce vecteur là et que je le mets à l’origine ici, eh bien je vais donner en fait, l’affixe d’un point, ça sera la même chose.

En résumé :

Ce que tu dois voir dans les complexes c’est qu’en fait, en x et en y, c’est juste un déplacement. Tu vois qu’on note exactement de la même façon, même avec les coordonnées, les vecteurs et les points parce qu’en fait on fait la même chose !

C’est comme si ici on disait OA directement. Avec les complexes, c’est exactement la même chose. x ça représente un déplacement en x, y un déplacement en y. Si on te dit que c’est l’affixe d’un point, tu pars de l’origine et tu fais ces déplacements.

Si on te dit que c’est l’affixe d’un vecteur par exemple du vecteur AB, tu pars de A et tu te déplaces de x et y, exactement comme ça.

Et si ça c’est A(xA, yA) et B(xB,yB), tu sais que le vecteur AB, ses coordonnées c’est quoi ? C’est (xB-xA yB-yA). ça c’est les coordonnées du vecteur AB.

Eh bien de la même façon, si A, il est donné par l’affixe zA, B c’est l’affixe zB, tu vois que le vecteur AB, il va avoir pour affixe zB – zA. Puisque zB – zA c’est rien d’autre que xB-xA + i (yB-yA).

Donc c’est juste qu’au lieu de séparer les deux coordonnées en fait, on les écrit sous forme complexe avec ici xAB = xB-xA, au lieu de les séparer, eh bien on rajoute le i ici et on a yB-yA. Et ça c’est rien d’autre que zB – zA.

Voilà les liens entre les nombres complexes et les vecteurs, c’est à peu près le même que entre les coordonnées d’un point et les coordonnées d’un vecteur.

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