Que vaut la limite d’une fonction composée ? lim f(g(x))

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir ce que vaut la limite d’une fonction composée.

Fonction composée ?

Une fonction composée, c’est f(g(x)). Alors des fois on dit « f rond g », bon j’aime pas trop la notation f o g. Ici, prenons ça c’est plus simple, comme ça on voit bien qu’on applique la fonction f à la fonction g.

Et donc on regarde la limite quand x tend vers quelque chose. Donc on va prendre par exemple x tend vers a, et on verra qu’en fait on peut faire la même chose autrement. Alors qu’est ce qui va se passer ici ?

Regardons ce que représente la limite d’une fonction composée.

On regarde f(g(x)), si x tend vers a. La première chose qu’on va appliquer à x c’est g(x). Donc il va falloir regarder quelle est la limite de g(x). Si on fait ça et qu’on sait par exemple que limite de g(x) quand x tend vers a, est égal à b.

Car x tend vers a, ce qui est à l’intérieur de la parenthèse de f, tend vers b. Eh bien ça va revenir exactement à regarder le fait que la limite de f d’un certain X quand X tend vers b.

Tu vois qu’ici, quand x tend vers a, ce qui est dans la parenthèse tend vers b. Donc c’est exactement comme si on remplaçait ce g(x) par un X et qu’on disait : eh bien X tend vers b. Donc ça c’est exactement la même chose que d’écrire limite de f(x) quand x tend vers b.

Ici x ou X c’est une variable, donc ça pose pas de problème. On pourrait l’appeler y, on pourrait l’appeler t, ça change rien du tout ! La fonction elle dépend de la variable mais c’est sa forme qui la définit.

D’abord l’intérieur, puis la fonction…

Donc quand tu veux calculer la limite d’une fonction composée, par exemple quand x tend vers a, tu vas d’abord calculer la limite de ce qui est dans les parenthèses.

C’est à dire de la fonction qui s’applique en premier, ici c’est g qui s’applique en premier sur x, donc tu regardes sa limite. Tu trouves sa limite, et tu vas remplacer dans la fonction de départ ton g(x) par une variable.

Et cette variable, elle ne va plus tendre vers a, mais en fait elle va tendre vers la limite de g(x). Si on veut, on pourrait l’écrire comme ça : limite de f(g(x)) quand x tend vers a, est égal à la limite de f(X) quand X tend vers limite de g(x). Et cette limite de g(x) c’est quand x tend vers a.

Tu regardes la limite de ce qui est dans la parenthèse quand x tend vers a. Et tu regardes ensuite la limite de la fonction f qui est la fonction la plus extérieure quand X tend vers cette limite intérieur. Ce que ça veut dire ici ?

Ça veut dire que quand tu regardes la limite de f(g(x)) quand x tend vers a. Tu sais alors que g(x) tend vers b, donc en fait, ça revient à regarder la limite de f quand ce qui est dans la parenthèse tend vers b, donc c’est exactement ce que j’ai écrit ici.

Donc ici j’ai fait avec a, b, etc… tu vois que si tu mets plus ou moins l’infini, ça marche exactement pareil. Donc voilà comment tu peux calculer la limite d’une fonction composée.

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