Que sont les parties réelle et imaginaire d’un nombre complexe ?

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Retranscription

Dans cette vidéo on va voir ce que sont les parties réelle et imaginaire d’un nombre complexe.

Alors un nombre complexe en général on le note z puisqu’on aime bien faire ça. Et on dit qu’il appartient aux complexes !

La forme d’un nombre complexe : somme des parties réelle et imaginaire.

Alors, tous les nombres complexes, ils vont s’écrire sous la forme z égal partie réelle de z + i * la partie imaginaire de z. Et à la fois partie réelle de z et parti imaginaire de z,  appartiennent au réels.

Donc tous les nombres complexes peuvent toujours s’écrire sous la forme une partie réelle plus i fois une partie imaginaire. Ce que tu vois en fait, c’est que la partie réelle c’est la partie où il n’y a pas de i. Et puis la partie imaginaire c’est la partie qui est factorisée par i.

Un exemple de parties réelle et imaginaire d’un nombre complexe : pas si simple ?

Alors, prenons par exemple z = 1 + i(2i+3). Là où tu dois faire attention c’est surtout pas dire que cette chose-là c’est la partie imaginaire. Parce qu’on a dit que la partie imaginaire, il faut qu’elles appartiennent aux réels !

Donc il ne peut pas y avoir de i à l’intérieur. Ici, le seul moyen de savoir quelle sont les parties réelle et imaginaire d’un nombre complexe, c’est de tout développer. Alors, on développe, un plus, donc ici i *2i, ça va faire 2i^2 + 3i.

Maintenant i^2, on sait que c’est -1, donc ici ça fait – 2, 1-2 ça fait -1+3i.Et donc là, tu vois par contre que tu as bien quelque chose qui n’est pas factorisée par i. Et puis un facteur devant i.

Donc ici, la partie réelle de z, ça va être -1, c’est celle qui n’est pas devant le i. Et la partie imaginaire de z, ça va être trois ! Et tu vois bien que -1 et 3, ce sont bien des réels.

Retiens bien ça !

La seule chose à laquelle tu dois faire attention quand tu cherches ce qu’est la partie réelle et la partie imaginaire d’un nombre complexe, c’est de t’assurer que tu as bien tout développé, et que ce qui est un facteur de i, est bien un réel et non un nombre complexe !

Comme ici par exemple c’était un complexe, donc il fallait tout développer. La partie réelle c’est simplement la partie du complexe qui n’est pas factorisée par i ou factorisable par i. Et la partie imaginaire du nombre complexe c’est tout ce qui va être factorisable par i et qui appartient aux réels.

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