Comment calculer les coordonnées d’un point sur un segment ? AM=k*AB

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir comment calculer les coordonnées d’un point M sur un segment AB sachant que on a la relation AM=k*AB.

Que veut dire AM=k*AB ?

On a un segment AB, et la question ici c’est : quelles sont les coordonnées du point M. Puis on va tracer un segment, on va voir à quoi ça ressemble. Et on a un segment ici, on va l’appeler AB.

Ici on a le point A et ici on a le point B, donc quand on a AM = k*AB, qu’est ce que ça veut dire ? Ça veut dire que le point M, il est bien sur le segment AB puisque le vecteur AM est colinéaire au vecteur AB.

Les cas k=1/2, 1/4 et 1.

Maintenant, il est à la « distance k ». Donc si on prend par exemple k=1/2, ça veut dire que AM est égal à 1/2 de AB. AB c’est le vecteur qui va comme ceci. Donc AM=1/2, eh bien ça veut dire que M ce serait le milieu ici.

Maintenant AM=1/4, bah tu vois que c’est ici. k=1/4, eh bien ça va nous donner M ici. Pour k=1/2, ça va nous donner M ici. k=1, ça va nous donner AM=AB, donc M=B, etc.

Le cas k>1.

Et puis après k, il peut être plus grand. Si k=2 par exemple, ça veut dire que AM= 2AB, deux fois le vecteur AB. Le vecteur AB, il est là, donc le vecteur AB, le point M, il va être ici. Tu vois que tu es toujours dessus, maintenant ce que tu veux c’est connaître ses coordonnées.

Comment calculer les coordonnées du point M sur le segment AB si AM=k*AB ?

Donc si j’efface cette petite partie, on va prendre un point k quelconque. On va dire que k est ici et on veut calculer le point M ici.

Là, une façon simple d’aller trouver les coordonnées de AM, c’est de connaître les coordonnées de AB. Donc on va pouvoir en déduire les coordonnées de k*AB, c’est à dire les coordonnées du vecteur AM.

Et ensuite, il suffira de rajouter le vecteur AM en partant du point A. Alors je vais l’écrire entre guillemets parce que c’est plus à la main qu’autre chose, les coordonnées de M c’est les coordonnées de A + AM.

Tout ça c’est entre guillemets, d’accord. Pour obtenir les coordonnées de M, on part des coordonnées de A et on rajoute le vecteur AM. Et le vecteur AM c’est rien d’autre que k*AB.

Donc les coordonnées de M en fait, on peut les obtenir comme ça ! En disant que c’est le point de départ auquel on rajoute le vecteur qui nous intéresse ici, donc k*AB.

Coordonnées du vecteur AM, tel que AM=k*AB.

En fait le vecteur AB, on connaît exactement ses coordonnées, ici c’est (xB-xA yB-yA). Et on va déduire les coordonnées du vecteur AM puisque le vecteur AM c’est k fois ça. Donc ici c’est (k*(xB-xA) k*(yB-yA)).

Coordonnées du point M sur le segment AB avec AM=k*AB.

Et maintenant, pour trouver les coordonnées du point M, j’ai dit : on part des coordonnées de A et on ajoute k * AB. 

Si on appelle x et y les coordonnées de M, on a x qui est xA+k*(xB-xA) et y qui est yA+k*(yB-yA). Ici tu reconnais en fait c’est comme si j’écrivais : les coordonnées de M sont égales aux coordonnées de A plus k fois celles du vecteur AB.

Tout ça entre guillemets, parce que c’est pas très beau de l’écrire comme ça. Mais par contre ça c’est bien la coordonnée de M en x. On part du point A et on rajoute k fois le vecteur AB, et tout ça le long des x.

Même chose, le long des y. Donc là, après y’a plus qu’à utiliser la valeur de k, et je vais prendre un exemple.

Retour sur le cas k=1/2.

Si ici k est égale à 1/2, qu’est ce qu’on obtient ? On obtient que xM, alors x c’est la coordonnée du vecteur A. C’est xA + 1/2 xB – 1/2 xA. Qu’est-ce que ça donne ? Ça fait xA – 1/2 xA, ça fait 1/2 xA, et donc il reste 1/2 (xA+xB) !

Dans la vidéo précédente, je t’ai montré comment calculer les coordonnées du milieu. Et j’obtenais bien que la coordonnée du milieu c’était (xB+xA)/2. Ici, si k=1/2, c’est à dire exactement que c’est le milieu.

Et puis, on peut faire la même chose avec y pour arriver à 1/2(yA+yB). La différence ici c’est que le k, il peut être quelconque, ça peut être n’importe quel cas.

Si k=0, tu vois que x = xA. Si k = 1, tu vois que x = xB, puisque ici ça va se simplifier. Et puis, si k est plus grand 1 ou plus petit que 0, eh bien on va sortir du segment AB. Je pense que cette approche est plus parlante que la version classique.

L’autre approche, plus matheuse.

Donc l’autre façon de faire ça aide vraiment faire du calcul et de dire que simplement les coordonnées de AM, eh bien qu’est ce que c’est ? C’est x – xA et y-yA.

On a dit les coordonnées de k*AB, on les connaît. k*AB ici c’est ces coordonnées là, eh bien donc il faut écrire que AM= k*AB. Si AM= k*AB, qu’est ce qu’on a ?

On a x-xA qui est égal à k*(xB-xA), ça c’est la deuxième façon de faire, c’est plus analytique, y-yA qui est égal à k*(yB-yA). Alors évidemment on arrive exactement à la même chose puisque là, il suffit de faire passer le xA et le yA de l’autre côté pour obtenir ce que j’ai écris ici.

Mon conseil quand tu veux calculer les coordonnées du point M sur le segment AB tel que AM=k*AB!

Donc ça c’est si tu veux partir de cette forme là et juste remplacer en terme de coordonnées et faire les choses. Moi ce que je te conseille c’est quand même de comprendre ce qui se passe derrière !

Autrement dit, que le vecteur AM qui est le vecteur qu’on voit ici, eh bien c’est k fois le vecteur AB, le vecteur AB c’est celui là. Donc tu vois que tu peux prendre différentes valeurs de k, voir à quoi ça ressemble, mais ce qu’il y a c’est que toujours les trois points sont alignés.

Et si tu veux trouver les coordonnées de M, eh bien tu part du point A et tu rajoutes le vecteur AM. Le vecteur AM, tu sais l’écrire en fonction du vecteur AB, donc tu peux faire tout ça en terme de cordonnées.

Donc là, quelque soit la façon dont tu as retenu les choses, ce qui est important c’est que tu comprends bien le lien entre les points et les vecteurs qu’il y a derrière et le facteur k ici, quel rôle il joue dans cette configuration.

Voilà comment tu peux calculer les coordonnées d’un point M sur un segment AB sachant que AM=k*AB.

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