Dans cette vidéo, on va voir comment utiliser la relation de Chasles dans un produit scalaire.
C’est ultra important parce que tu va l’utiliser tout le temps dès que tu fais
du produit scalaire. Donc relation de Chasles dans le produit scalaire !
Qu’est-ce que la relation de Chasles ?
Ce que tu sais, c’est que par exemple le vecteur AB (je vais prendre des lettres au hasard mais) qui est égal à la somme de vecteurs AI+IB.
Ok, ça c’est la relation de Chasles, elle te dit que tu peux « injecter » une lettre au milieu du vecteur. Et en gros, t’es en train de te balader… en effet, si AB est là, donc t’as A et B, et si I est ici, tu peux aller du point A au point B directement en passant par AB, ou en faisant AI+IB. Donc ça c’est classique, on a vu ça dans d’autres vidéos.
Comment utiliser la relation de Chasles dans le produit scalaire ?
Maintenant tu vas mélanger ça avec le produit scalaire. Donc quel est l’intérêt ici ? C’est que par exemple si tu as AB•CD, tu peux dire que c’est (AI+IB)•CD. Et ça tu sais que le produit fonctionne comme la multiplication pour ce truc-là, ça va faire AI•CD + IB•CD.
Pourquoi faire ça ? C’est des choses que tu vas devoir utiliser régulièrement. L’intérêt c’est que tu vas pouvoir te ramener des situations où tu sais calculer les deux produits scalaires, alors que tu ne savais pas calculer le premier !
Un exemple d’utilisation de la relation de Chasles pour calculer un produit scalaire.
Et je vais te montrer ça tout de suite sur un exemple assez intéressant sur un tétraèdre régulier, justement pour bien expliciter l’intérêt de faire ça.
Alors je vais dessiner un tétraèdre régulier du mieux que je peux… On va dire ça fait quelque chose comme ça 🙂
Bon il est pas très régulier quand je le dessine mais en fait imagine toi qu’il est régulier. C’est à dir que toutes ses faces sont des triangles équilatéraux. C’est la seule chose qu’il y a à savoir, y’a pas besoin de plus que ça.
Le produit scalaire qu’on va regarder…
Et donc on va regarder AB•DC. Donc AB, son point de départ est là, son point d’arrivée est ici. Pour le vecteur DC, le point de départ est ici et le point d’arrivée est ici. Donc tu vois qu’aller calculer ce produit scalaire en 3D, comme ça directement, ça va être compliqué ! Parce que là tu vois graphiquement qu’il se passe des choses… t’es en 3D, c’est difficile à voir.
Par contre regarde : pour DC on va faire quelque chose de simple, on va injecter une lettre ici grâce à la relation de Chasles, qui est une des deux lettres, alors soit j’utilise B, soit j’utilise A, ça ne change pas grand chose.
La relation de Chasles en action !
Donc ici je vais prendre le vecteur DA + AC, d’accord ? Donc ça c’est égale à AB•(DA+AC). Voilà, j’utilise la relation de Chasles. Maintenant, je développe ça fait : AB•DA + AB•AC !
Alors déjà tu vois que c’est beaucoup plus intéressant. Pourquoi ? Parce qu’ici on a la même lettre de départ. AB•AC, on a 2 vecteurs avec la même lettre de départ.
Or deux vecteurs, ça forme un plan, donc on peut travailler dans le plan (ABC). Dans ce plan, l’angle on le connaît puisque c’est un triangle équilatéral. Donc on sait que c’est 60°, ou π/3, d’accord ? Je vais plutôt mettre en radians, donc π/3.
On connait cet angle-là, donc on sait calculer AB•AC, si le côté s’appelle « petit a », puisque c’est un tous les triangles sont équilatéraux, donc ça va faire « a », c’est à dire ||AB|| * ||AC|| * cos(π/3) = a * a * cos(π/3) !
Tu vois déjà que je peux calculer ce produit scalaire directement, même si je suis en 3D. Sauf qu’un produit scalaire, si t’as tes 2 vecteurs, que tu les visualises sans problème, et qu’ils sont là comme ça, qu’ils ont le même point de départ, eh bien, tu peux calculer ici puisqu’on connaît l’angle.
Maintenant AB•DA c’est plus embêtant, puisque AB il est là, mais tu vois que DA n’est pas dans le bon sens. Mais qu’est ce que tu sais ? Tu sais que des DA c’est – AD. Donc ça c’est -AB•AD… + ce qu’on avait déjà.
Maintenant – le produit scalaire, eh bien, il suffit de calculer le produit scalaire et puis de mettre le signe – devant ! AB•AD, ça aussi on sait le calculer : AB il est ici, et AD il est là. Donc AB•AD, encore une fois, ça va être
a*a*cos(π/3), puisqu’on est toujours sur une des faces.
Donc ça c’est : -a*a*cos(π/3). Et tu vois que tu as pu calculer tes 2 produits scalaires, alors qu’en fait, tu ne savais pas calculer le produit scalaire de départ.
Conclusion ?
Et le truc intéressant ici c’est que dans ce cas là, tu vois que ça c’est a^2*cos(π/3), et ça aussi, une fois – une fois +. C’est bien ça ça fait 0 !
Donc tu vois qu’ici d’un produit scalaire qui est absolument incalculable directement qui est AB•DC ici en 3D, on utilise la relation de Chasles, on sépare tout ça en mettant une des deux lettres du vecteur d’origine…
Ici on va mettre A ou B, et ça fera la même chose au milieu de DC pour pouvoir faire apparaître des choses qui nous intéressent. On réécrit nos produits scalaires pour être avec des vecteurs qui aient le même point de départ et donc qu’ils sont dans le même plan, et qui te permettent de calculer facilement le produit scalaire.
Et là tu arrives à montrer en fait que le produit scalaire AB•DC, il vaut zéro ! Autrement dit, que le vecteur AB est orthogonal au vecteur DC ici. Autrement dit la droite (DC) et la droite (AB) sont perpendiculaires !Ce qui est loin d’être trivial à voir comme ça.
Donc voilà comment tu peux utiliser la relation de Chasles dans le produit scalaire !
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