Comment montrer que (O, u, v) est un repère du plan ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir comment montrer que (O, u, v) est un repère du plan.

Donc là, en fait, ce qu’on veut c’est comprendre ce qu’est un repère avant tout. Et puis on va pouvoir en déduire comment on va montrer que (O, u, v) est un repère.

Qu’est-ce qu’un repère du plan ?

Alors, un repère c’est un point d’origine, ici le point O, ça pourrait être le point A, ça pourrait être le point X, on se moque de la lettre… et 2 vecteurs qui vont te permettre de te déplacer dans le plan, et de rejoindre n’importe quel point du plan via une combinaison linéaire entre ces deux vecteurs.

Autrement dit, ça veut dire globalement : O c’est l’origine et ensuite la deuxième chose qu’il va falloir c’est que tous les points du plan peuvent s’écrire comme une combinaison linéaire de u et v, c’est à dire, au+bv, d’accord ?

Donc ça, au+bv, tu vois bien que ça te donne un point. En fait, c’est le point de départ plus a fois vecteur u + b fois le vecteur v, avec a et b qui appartiennent à R. Et a et b, ce sera les coordonnées selon le premier axe et le deuxième axe.

Comment montrer que (O, u, v) est un repère du plan ?

Donc comment tu peux montrer ça et quelle est la condition qui fait que (O, u, v) est bien un repère du plan. Alors déjà sur O, en fait, il n’y a pas de conditions puisque le point d’origine tu le mets là où tu veux !

La condition importante c’est que les deux vecteurs ici puissent travailler surtout le plan. Autrement dit, la seule condition ici c’est « u et v non colinéaires » !

Comprendre graphiquement la condition pour que (O, u, v) soit un repère du plan.

On va voir graphiquement pourquoi, d’accord ? C’est la seule chose que tu dois retenir ici pour montrer que (O, u, v) est un repère du plan. Il faut que u et v ne soient pas colinéaires. Alors pourquoi ?

Si je dessine le plan… Donc le plan t’imagines, c’est ce truc tout plat ici sur lequel je suis en train de dessiner. Ici on a un point O et puis on veut aller à un point A.

Pour pouvoir y aller on veut 2 vecteurs, d’accord ? Puisqu’on pourrait avoir le vecteur OA, ok bon pour y aller c’est génial, mais si maintenant on veut aller à un point B… Ben on peut pas y aller avec le vecteur OA.

Donc un seul vecteur ça ne suffit pas pour se balader dans le plan !

C’est normal, il y a deux directions dans le plan. Donc là si on a deux vecteurs, un premier vecteur u qui est comme ça et puis un deuxième vecteur v qui est comme ça, par exemple.

Le cas u et v colinéaires, pourquoi ça ne marche pas ?

Dans ce cas-là, tu vois que u et v sont colinéaires… Bon ben tu vois qu’à part te déplacer à partir du point d’origine sur la droite qui porte u et v… tu vas pas pouvoir aller bien plus loin ! Alors si t’as de la chance, ça tombe dessus mais c’est, en général, pas le cas !

Le cas u et v non colinéaires, ça marche !

Donc ce que tu vas vouloir c’est que les vecteurs u et v ne soient pas colinéaires. A partir du moment où ils ne sont pas colinéaires, si u est comme ça et puis v comme ça, par exemple. Eh bien, ces deux vecteurs, avec ça tu peut couvrir tout le plan.

Parce que tu vois que, par exemple, si on veut aller parallèlement au vecteur u, on va arriver quelque part par ici. Donc ça c’est la droite qui porte le vecteur u.

Là maintenant la droite qui passe par le vecteur v donc tu vois je fais une droite plus ou moins parallèle a v. Et bien quoi, qu’est-ce qui est intéressant ici ?

C’est qu’en fait ce vecteur là… Donc on part de l’origine, on fait un certain k fois le vecteur u, ici tu vois que k*u, on va arriver ici. Quand on est arrivé ici, on fait k’*v. Et avec k’*v on va arriver sur A. Et ça c’est vrai pour tous les points.

Tu vois qu’ici il suffit d’aller un tout petit peu plus loin et puis de revenir en arrière, faire k »*v, et on arrive sur B. Donc tu vas pouvoir atteindre tous les points du plan, à partir de moment où tes deux vecteurs ne sont pas colinéaires.

C’est la seule chose que tu as à montrer, en fait, pour montrer que (O, u, v) est un repère du plan. Tu as juste à montrer que u et v ne sont pas colinéaires.

Les cas spéciaux.

Maintenant, il y a les cas spéciaux, tu les connais en général ! Si u est orthogonal à v, on va appeler ça un repère orthogonal, c’est souvent le cas.

Et puis maintenant si la norme de u est égale à la norme de v est égal à 1, on va appeler sans un repère normé.

Enfin maintenant si on a les 2, l’un plus l’autre, c’est le fameux repère orthonormé (ou orthonormal), qui est le repère le plus courant. Donc les conditions 1 + 2 c’est un repère orthonormé !

Tout ça c’est très classique, en général, ton repère il est sous cette forme là. Mais tu n’as pas besoin de ça pour représenter le plan : il te suffit de deux vecteurs non colinéaires pour représenter le plan !

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