Quand et comment calculer un produit scalaire via la formule classique u•v = ||u||*||v||*cos(u,v) ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir quand et comment calculer un produit scalaire via la formule classique. C’est à dire la formule u•v =||u||*||v||*cos(u,v).

Quand est ce qu’on peut utiliser cette formule pour calculer le produit scalaire ?

La première chose c’est quand on n’a pas les coordonnées, parce que si on a les coordonnées des vecteurs, on peut directement utiliser les formules avec les coordonnées : xx’+ yy’, et puis si on est en 3D: +zz’.

La deuxième chose, c’est qu’on doit pouvoir mesurer l’angle (u, v) d’accord. Puisqu’on va avoir besoin de cet angle là pour calculer son cosinus. Donc si on peut mesurer l’angle, ou au moins on peut avoir son cosinus !

La dernière chose c’est qu’on doit connaitre les mesures, les longueurs, ou qu’on peut calculer les normes de u et v. Evidemment sans ça, ça va être compliqué ! Mais avoir norme de u et norme de v c’est quelque chose d’assez classique.

Un exemple de calcul de produit scalaire avec la formule classique.

Si par exemple, on se place dans un cube, on te dit u c’est le vecteur AB, v c’est le vecteur AC. En général, AB et AC sont des arêtes, donc tu connais la longueur des arêtes du cube. C’est donc la norme des vecteurs correspondants.

D’ailleurs, j’ai évidemment oublié ici des petites flèches puisqu’on travaille en vecteur. Et la deuxième chose c’est la mesure de l’angle, et c’est  beaucoup moins simple en général.

En particulier, si les deux vecteurs n’ont pas un point de départ commun. Tu vois que si on a simplement AB ici et AC ici, on a A qui est un point ici, C qui est un point ici et B qui est un point ici… bon, si on dit que AB = u et puis AC = v, l’angle il est facile, c’est l’angle qui est ici.

L’angle (u, v) n’est pas orienté…

Alors une chose importante l’angle ici n’est pas orienté ! Puisque le cosinus de x est égal à cosinus(-x), de toute façon, ça change rien que tu mettes un signe à l’angle. Donc l’angle ici c’est l’angle au sens classique c’est-à-dire en valeur absolue, la valeur positive.

Donc si tu as ces 2 vecteurs, tu vois que c’est très facile d’aller mesurer… Enfin si tu peux mesurer l’angle, il n’y a aucun problème. Là où ça devient un peu plus complexe, c’est si par exemple ton vecteur u il est comme ça, et puis ensuite t’as un vecteur v qui est, je sais pas moi, comme ça, ok ? Et ça c’est ton vecteur v.

Comment fait-on pour mesurer l’angle entre les vecteurs u et v ?

Et ça, ça arrive souvent en 2D. Et en 3D, c’est encore pire parce que tu peux être éloigné complètement. Alors la chose à faire ici c’est de venir déplacer les deux vecteurs (tu sais que des vecteurs ça se déplace dans l’espace puisque ça représente juste un déplacement et non une position) pour visualiser (u, v) qui va être l’angle entre les deux. Tu peux prendre u et le représenter à partir d’ici par exemple. D’accord ? Ca ça va être u !

Quelle est l’idée ? C’est de mettre les points de départ des deux vecteurs au même endroit ! Et donc là tu vois déjà que ce sera beaucoup plus simple de mesurer un angle.

Tu pourrais aussi le faire dans l’autre sens, c’est à dire mettre le point de départ du vecteur v au même endroit que le point de départ du vecteur u.

La différence en 3D.

Quand tu es en 3D, ça c’est de la 2D, c’est difficile à dessiner. Donc quand tu es en 3D ce que tu vas faire c’est que tu sais que par deux vecteurs u et v, il y a un seul plan qui passe !

Donc tu vas tout faire pour te ramener dans ce plan qui contient à la fois u et v. Evidemment ça demande régulièrement à bouger les vecteurs u et v . Tu fais pareil, tu viens mettre le point de départ de ces deux vecteurs au même endroit. Et ensuite tu travailles dans ce plan-là.

Donc pour mesurer l’angle, il faudra que tu sois dans le plan qui inclut u et v. Evidemment une fois que tu as l’angle, tu peux calculer le cosinus que tu multiplies par les deux normes, et t’auras obtenu ton produit scalaire, d’accord ?

Conclusion.

Donc quand tu veux calculer un produit scalaire avec la formule classique ||u|| * ||v|| * cos(u,v), il faut que sois capable de calculer les normes, ça d’accord… Et la deuxième chose c’est être capable de mesurer l’angle, et ça ça dépend vraiment de la situation de l’exercice dans lequel tu es. Mais en général si on te le demande c’est que tu peux le faire 🙂

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