Comment déterminer le projeté orthogonal pour calculer le produit scalaire en 2D ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir comment déterminer le projeté orthogonal pour calculer un produit scalaire en 2D.

Alors on va aller direct dans le dur, on va avoir deux vecteurs, un premier vecteur ici et puis un deuxième vecteur comme ça. On va en appeler un « u » et l’autre « v »… Oh, on va plutôt mettre des lettres d’ailleurs ! Ici on va voir A, ici on va avoir B, ici on va voir C et là on va avoir D.

Volontairement je n’ai pas fait des vecteurs qui se touchent ou qui ont le même point de départ. Et donc on va vouloir calculer ici AB•CD, en utilisant le projeté.

Qu’est-ce que le projeté orthogonal ?

C’est ceci : on va projeter le point d’arrivée d’un vecteur sur la droite qui porte le deuxième vecteur. Soit c’est le projeté orthogonal du point D sur la droite (AB), soit c’est le projeté orthogonal de B sur la droite (CD), d’accord ? C’est l’un ou l’autre, tu as le choix.

Comment trouver le projeté orthogonal ?

Eh bien, on va commencer par reprendre les deux vecteurs et les dessiner avec le même point de départ. Ici on a repris AB et maintenant je reprends CD et je le mets ici. Voilà globalement j’ai repris mon vecteur AB ici, j’ai repris mon vecteur CD ici et j’ai mis leurs points de départ au même endroit. Donc ça c’est la première chose !

La deuxième chose, c’est qu’on veut projeter orthogonalement, d’accord ? Orthogonal à (AB), par exemple si on commence avec celui là, on veut projeter le point D, c’est à dire le point d’arrivée du vecteur CD… On veut projeter ce point-là sur cette droite donc sur la droite (AB).

La droite (AB) c’est celle que je vois ici, et je veux projeter orthogonalement, ça veut dire que je vais chercher la droite perpendiculaire à (AB) qui passent par ce point ici.

Tu vois je suis ici et je veux passer par ce point et qu’il fasse un angle droit avec la droite (AB). Ce qui est important c’est l’angle droit ici, orthogonalement, d’accord ?

Donc, projeté orthogonal : on trace la droite perpendiculaire à la droite sur laquelle on veut projeter, et le point d’intersection ici et bien c’est le projeté orthogonal de ce point sur cette droite.

Appelons ce point K, et ça ça va nous dire que AB•CD c’est égal à AB•CK, d’accord ? Donc quand tu fais le projeté orthogonal, il n’y a que la dernière lettre, celle que tu as projetée, qui change.

Quel est l’intérêt du projeté orthogonal ?

C’est que pour calculer AB•CD, tu vois qu’il faut connaître le l’angle, par exemple, entre les deux. Ici il n’y a plus besoin : AB•AK, K étant le projeté, on est bien sur la meme droite, et il n’y a plus d’angle ! Donc ce n’est plus qu’une question de longueurs et c’est beaucoup plus simple !

Aussi, tu vois qu’ici on aurait pu le faire dans l’autre sens. C’est à dire projeter le point d’arrivée ici sur la droite (CD). Donc je vais dessiner la droite (CD), c’est celle qui est ici. Et je veux passer par ce point et être orthogonal a (CD). Donc j’essaie de le faire proprement… voilà.

Ici j’ai un angle droit, eh bien, j’ai un point ici qui est le point J par exemple et je peux dire que AB•CD est égal…alors ici j’ai projeté le point d’arrivée du premier vecteur AB, donc c’est égal à AJ•CD !

D’accord, c’est l’un ou l’autre, tu projettes comme tu veux mais pour projeter c’est toujours la même technique. C’est à dire tu projettes toujours le point d’arrivée d’un vecteur sur la droite qui porte l’autre vecteur.

Et avant de faire ça, tu mets toujours tes deux vecteurs au même point de départ. Tu places le point de départ des deux vecteurs au même endroit, et tu peux faire tout le reste.

Donc voilà comment tu peux trouver le projeté orthogonal de manière à calculer un produit scalaire.

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