Quand et comment calculer un produit scalaire avec des normes u•v=(1/2)*(||u||^2 + ||v||^2 – ||v-u||^2) ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir quand et comment calculer un produit scalaire via la formule qui ne fait intervenir que des normes !

Cette formule c’est : u•v = 1/2 ( || u ||^2+||v||^2 – ||v-u||^2). Donc voilà la formule qui n’est pas des plus réjouissantes mais ce qui nous intéresse c’est quand est ce qu’on va utiliser ça ?

Quand utiliser la formule u•v = 1/2 ( || u ||^2+||v||^2 – ||v-u||^2) ?

Alors la première chose encore une fois, comme pour la formule précédente, c’est quand on n’a pas les coordonnées ! Pourquoi ça ?

Parce que si on a les coordonnées, on va pas s’embêter avec une formule compliquée, on va directement appliquer la formule avec les coordonnées : xx’+yy’ (+ zz’ si on est en 3D).

La deuxième chose c’est qu’on va utiliser cette formule quand on n’a pas accès, quand on n’a pas de moyens, de mesurer l’angle ! Donc, on ne peut pas avoir l’angle (u, v), d’accord. Sinon on peut utiliser l’autre formule. Alors parfois on peut utiliser les deux, mais ce n’est pas toujours le cas.

Et la dernière chose c’est, tant qu’à faire, quand on peut facilement trouver le vecteur v-u. Tu vois qu’ici il y a un troisième vecteur qui apparaît c’est (v-u). Quand on fait une soustraction de vecteurs, ça donne un vecteur évidemment !

Donc si tu peux facilement trouver v-u, eh bien, tu vas pouvoir calculer sa norme et faire des choses intéressantes. Donc tu vois c’est ce genre de situation dans laquelle tu te retrouves souvent en géométrie.

Un exemple d’utilisation du produit scalaire calculé avec les normes dans un cube.

Si je dessine, par exemple, un cube… Je vais essayer de de dessiner ça proprement ! D’accord ici on va avoir quelque chose comme ça… Bon, c’est pas parfait, mais ça y ressemble ! On va avoir un point qui reste ici et puis les autres comme ça. Et là on va avoir A, B, C, D… et le reste on s’en moque.

Et par exemple, on va poser u = AB, v = AC. Alors tu vois que tu n’as pas les coordonnées ici, tu sais juste que ta longueur de côté vaut a. Eh bien, tu es bien dans le cas où t’as pas les coordonnées, mesurer l’angle bon ici on pourrait facilement mesurer l’angle, ce n’est pas vraiment le problème, mais tu vois que bon tu peux te retrouver dans une situation où tu peux pas mesurer l’angle. Et puis la dernière chose, on peut trouver le vecteur v-u.

Quel est le vecteur v-u ?

Alors si on regarde ce que c’est v-u, c’est AC-AB. C’est donc AC+BA. Mais maintenant BA+AC c’est BC ! Donc ici le vecteur v-u, on le connait, c’est BC. Et BC son côté vaut a.

Et puis le vecteur AC c’est une diagonale, donc comme c’est une diagonale, on sait que sa longueur c’est a√2.

Donc tu vas pouvoir faire u•v, c’est à dire AB•AC. Ca va te donner 1/2, u au carré c’est a^2 + v au carré donc on a dit ça va être 2a^2 et puis v-u c’est BC, c’est donc a au carré. Donc a^2 -a^2 ca se simplifie, 2a^2 il est là, on le simplifie ici.

Puis voilà tu vas pouvoir calculer ton produit scalaire. Donc l’idée c’est que tu es dans une situation où tu n’as pas les coordonnées, dans une situation où parfois tu vas avoir plus de mal à avoir le l’angle, tu peux être dans une situation où tu ne connais pas l’angle, mais où par contre tu connais BC par ex.

Donc tu aurais AB, AC, tu connais les deux normes. Tu connais pas l’angle entre les deux mais par contre tu connais BC. Et comme tu connais la norme de BC, eh bien, tu peux l’utiliser directement dans cette formule.

Donc voila quand et comment utiliser la formule qui ne fait intervenir que des normes au carré pour calculer le produit scalaire.

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