Comment retrouver et calculer la dérivée de 1 sur u(x) ou 1/u(x) ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, je vais te montrer comment retrouver et calculer la dérivée de 1 sur u(x). Ici ce qui nous intéresse c’est 1/u(x), soit 1 sur une fonction et on veut la dérivée.

Alors cette formule elle est donnée par -u'(x) / u(x)^2. Alors comment est-ce qu’on retrouve ça? Eh bien on va utiliser la dérivée d’une fonction composée, comme toujours.

On sait que (f(g(x)))’ = f'(g(x)) * g'(x). Donc on vient prendre la dérivée de la fonction qu’on a de départ et sauf qu’au lieu d’avoir x à l’intérieur, on a g(x). Et on vient multiplier par g'(x).

Dérivée de 1/u : les détails !

Ici on fait l’analogie. Qu’est ce qu’on a ? On a 1/u(x), donc c’est là où il faut savoir découper les deux mais tu vois que c’est bien la fonction 1/x. Et à la place de x, on a mis u(x). Donc c’est comme si on avait la fonction f(x) = 1/x.

Et ça, on sait très bien faire les dérivées f'(x) = -1/x^2. En parallèle, g'(x), eh bien c’est simplement la dérivée de u(x), donc c’est u'(x). Il ne reste plus qu’à appliquer la formule pour obtenir ce qui nous intéresse.

Donc on a dit f(x)= 1/x, donc ici on a 1/u(x), quand on va prendre f’ c’est cette fonction-là et à la place de x, on va mettre u(x). Donc ici on est d’accord on va avoir (1/u(x))’ qui est égal à quoi ?

Qui est égal à -1 sur…, et à la place de x^2, on va utiliser (u(x))^2 que multiplie u'(x).  La dérivée ici de notre fonction donne bien -u'(x)/u(x)^2.

C’est comme ça qu’on retrouve la dérivée de 1/u(x), il n’y a pas besoin de l’apprendre par coeur ! Il suffit de connaître celle de 1/x pour faire ce passage là et cette formule pour toutes les fonctions composées.

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