Comment retrouver et calculer la dérivée d’une division de fonctions ? Méthode 1.

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Retranscription

Dans cette vidéo, je vais donner une première méthode pour retrouver la dérivée d’une division de fonctions.

Donc ici si on a une fonction f divisée par une fonction g. Et on s’intéresse à la dérivée. Déjà, la formule elle est donnée par f'(x) g(x) – f(x) g'(x) divisé par g(x)^2.

Alors ça encore une fois c’est une formule qu’on voit plutôt avec des u et des v habituellement… Mais c’est exactement la même chose. C’est important de le savoir que c’est la même chose (u/v)’ c’est égal à (u’v – uv’)/v^2.

Et contrairement à la multiplication l’ordre est important puisqu’on a une soustraction ici ! Donc là qu’est ce qu’on fait ?

Comment retrouver la dérivée d’une division de fonctions ?

Eh bien, la première chose qu’on va dériver c’est u, celui qui en haut, on va avoir u’. Et donc on va le multiplier par v, une soustraction et ensuite on inverse les dérivées. C’est-à-dire qu’on garde u et on dérive v.

Donc (u’v – uv’) / v^2 alors ça soit tu l’apprends par coeur, soit dans la prochaine vidéo je te montrerai comment t’en rappeler autrement en utilisant une autre formule.

Application sur un exemple :

Ce qui est important c’est de savoir l’utiliser. Si par exemple ici je prends √x/2x et que je veux sa dérivée. Comment est ce que je fais ça?

Je fais comme pour la multiplication, si je veux être sûr de ne pas me tromper je vais prendre u(x), alors qu’est ce que c’est u(x) ici ? C’est ce qui est au dessus de la division donc √x. Et v(x), qu’est-ce que c’est v(x) ? C’est 2x.

Maintenant je calcule la dérivée, u'(x) ça je te renvoie aux vidéos précédentes, 1/2√ x. Et v'(x) égal la dérivée de 2x, 2*x ça fait 2. Là,  j’ai bien u, u’, v, v’, et je peux appliquer ma formule.

Donc on a dit u’v, v c’est 2x, u c’est 1/2√ x donc 2x / 2√ x, ça c’est u’v – uv’, moins 2*√x le tout divisé par le carré de v, donc v^2, ici on avait 2x donc ça va faire 4x^2.

Et donc quand on est ici on essaye de voir si on peut simplifier, ici les deux se simplifient, il nous reste x /√ x. Or on se rappelle que x c’est √ x^2, donc √ x^2/√ x ça fait √ x moins 2√ x, ça fait -√ x. -√ x / 4x^2.

Et puis c’est déjà bien et donc là on a obtenu la dérivée et de cette fonction ici qui est bien une division. Encore une fois tu vois qu’ici on utilise uv simplement, c’est un peu plus classique mais on pourrait utiliser fg c’est la même chose.

Résumé généraliste.

On pourrait utiliser n’importe quelles lettres du moment qu’on a une fonction sur une autre fonction et qu’on cherche la dérivée et ça va être la dérivée de la fonction qui est au numérateur multipliée par la fonction qui est au dénominateur, moins la fonction qui est au numérateur multipliée par la dérivée du dénominateur, le tout divisé par le dénominateur au carré.

Et donc là c’est cette formule ici qui fait partie des formules que tu peux connaître mais dont je vais te donner une façon de t’en rappeler dans la prochaine vidéo.

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