Comment retrouver et calculer la dérivée de racine de u(x) ou √u(x) ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, je vais te montrer comment retrouver et calculer la dérivée de racine de u(x), soit √u(x).

Donc on s’intéresse à (√u(x))’. C’est à dire la racine d’une fonction qui est différente de x. Et à partir du moment où on n’a pas juste √x, on est obligé d’utiliser cette formule là. On va voir que la dérivée c’est u'(x)/2√u(x).

Comment se rappeler de la dérivée de racine de u(x) ?

Eh bien on va utiliser la dérivée d’une fonction composée. Si on a un f(g(x)) et qu’on cherche la dérivée, on sait que ça, ça vaut f'(g(x)) ! Simplement la dérivée prise en la fonction g(x) que multiplie g'(x).

Et donc ici on va simplement chercher quelle est la fonction f et quelle est la fonction g. Alors ce qu’on voit c’est qu’on a racine d’une fonction, donc cette fonction là, elle est à l’intérieur de la fonction racine. Donc f(x) = √x.

Et g(x) eh bien ça va être ici u(x). Donc g(x) = u(x), donc g'(x) c’est simplement u'(x). Et de la même façon ici f'(x), on la connaît la dérivée de la racine c’est 1/2√x.

Maintenant quand on applique ça à cette formule, ici on obtient (√u(x))’ et on veut dériver. Donc on a dit, on prend la fonction f’, d’accord ?

On a dit f'(g(x)) donc f’ = 1/2√x sauf qu’on ne prend pas en x, on prend en u(x). Ici on va avoir 1/2√u(x) et on vient multiplier par la dérivée de la fonction qui est à l’intérieur qui est donc ici u'(x).

Par conséquent, on obtient u'(x)/ 2√u(x). Là encore, pas besoin d’apprendre la formule par coeur, il suffit de connaître la dérivée de la racine !

Et pour connaitre la dérivée de la racine comme je te l’ai montrer dans une vidéo précédente, il suffit de connaître la dérivée des puissances.

Au final, tu peux facilement retrouver cette dérivée là, et ensuite il suffit de connaître la dérivée d’une fonction composée. Mais celle-là elle est très importante et ça c’est ce que je t’ai expliqué dans une vidéo précédente.

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