Comment retrouver et calculer la dérivée de u(x) à l’exposant n ou u(x)^n ?

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Retranscription

Dans cette vidéo je vais te montrer comment retrouver et calculer la dérivée de u(x) à l’exposant n, soit u(x)^n.

Ici, ce qui nous intéresse c’est la dérivée de u(x)^n. Déjà, la dérivée de cette fonction là ça va être (n u(x)^(n-1)) * u'(x).

Comment est-ce qu’on retrouve la dérivée de u exposant n?

Encore une fois on va utiliser la dérivée d’une fonction composée. La dérivée de f(g(x)) c’est f'(g(x)) * g'(x). Donc ici, on prend simplement la dérivée de la fonction appliquée à g(x) à la place de x et on vient multiplier la dérivée.

Donc on fait ça et encore une fois, on vient voir qu’est-ce qui est f et qu’est ce qui est g là dedans ? On voit qu’on a (u(x))^n, autrement dit u(x) il est à l’intérieur de la fonction.

Donc c’est comme si on avait x^n, mais on a remplacé x par u(x). Dans ces cas là, f c’est bien la fonction x^n et g c’est la fonction u(x). Et la dérivée de g c’est simplement la dérivée de u et la dérive de f, on la connaît c’est n x^(n-1).

Maintenant si on applique ça à notre formule ici, on a (u(x)^n)’. On a dit on fait d’abord f'(u(x)), donc f’ c’est ici n x^(n-1). Et on remplace x par u(x).

Donc on a bien n (u(x))^(n-1) que multiplie la dérivée de g, donc ici la dérivée c’est u'(x). Et donc on a retrouvé la formule pour la dérivée d’une fonction à la puissance n sans avoir à retenir une formule par coeur !

On a ça, on connaît simplement la dérivée de la puissance donc x^n qui fait partie des 6 dérivées à connaître de cet article. Et la dérivée d’une fonction composée ici simplement (f(g(x)))’ qui vaut f'(g(x)) * g(x).

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