Comment calculer une intégrale ?

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Retranscription

Dans cette vidéo on va voir comment calculer une intégrale, autrement dit l’idée générale qu’il y a derrière un calcul d’intégrale. Et aussi en même temps on va comprendre d’où vient le signe qu’on utilise tout le temps !

Le cadre.

Alors comment calculer intégrale entre a et b de f(x) dx ? Pour ça, je vais encore une fois me placer dans le repère, dans un repère ici. Bon, on va prendre une fonction qui est positive pour pas se compliquer la vie ici.

Et puis on va prendre deux droites a et b ici, enfin deux points a et b et on va calculer l’intégrale entre a et b de f(x) dx.

Cette courbe-là c’est la courbe représentative de la fonction f. Et on a dit l’intégrale, c’est l’aire qui est comprise entre ces deux droites rouges, l’axe des abscisses et la courbe bleue.

Comment comprendre et calculer l’intégrale par approximations successives…

Une première approximation basique.

Alors ce qu’on va faire c’est on va faire une première approximation, la plus simple possible. On va prendre le point du milieu ici, on va aller regarder la valeur de f, et puis on va dire l’intégrale c’est quelque chose qui se rapproche de l’intégrale du rectangle orange ici.

Donc si on prend ça, ça et ça, donc ce n’est pas complètement faux, voir même ici, c’est une approximation par en dessous en fait de cette valeur là. Donc on pourrait faire ça, ça nous donne une première approximation d’accord.

On va l’appeler A1, l’approximation numéro une. Ici on va prendre la valeur, c’est le milieu donc c’est (a+b)/2, donc on va multiplier, et ici la valeur c’est f((a+b)/2). Donc on va faire f (a+b)/2 et donc ça c’est la hauteur multipliée par la longueur de l’intervalle plutôt (b-a). Ça c’est une première approximation de l’intégrale qu’on peut avoir.

Une deuxième approximation !

Maintenant, on peut avoir une deuxième approximation. Et puis je vais pas en faire 50 c’est juste pour te faire comprendre l’idée. Alors une autre façon d’approcher ça, on pourrait faire quelque chose d’un peu plus smart.

C’est à dire qu’ici on va diviser en quatre, et puis on va prendre la valeur du milieu pour la fonction, d’accord ? Donc on va faire ça, ici la valeur du milieu elle est ici, ici elle est là, et puis là elle est ici. Donc là qu’est-ce qu’on aurait ?

On aurait une valeur ici, une valeur de fonction ici et à chaque fois cette valeur de la fonction. Si par exemple, on les appelait a1, a2, a3 et a4, eh bien l’aire, et tu vois que ça se rapproche déjà beaucoup plus de ce qu’on avait. L’approximation 2, c’est quoi ? 

On a divisé tous en quatre parties égales donc la longueur de l’intervalle c’est (b – a)/4 pour le petit rectangle vert par exemple ici et la valeur ici c’est f(a1). Donc c’est f(a1) x (b-a)/4, ça donne l’aire du rectangle vert. Donc ensuite, il faut rajouter tous les autres f(a2)* (b-a)/4 parce qu’on a fait les choses intelligemment donc tout garder à la même largeur f(a3)*(b-a)/4 et puis f(a4) fois la même chose.

Tu vois qu’ici déjà, on a, bon la formule elle devient beaucoup plus complexe, mais on a une approximation qui est quand même bien meilleure !

Et quand on fait tendre vers l’infini ?

Maintenant tu peux reprendre la même idée, au lieu de prendre quatre intervalle, on en ferait 8et puis 16 et puis 1000. Et tu vois qu’on va se rapprocher très très fortement de cette intégrale qui nous intéresse.

Donc globalement qu’est ce qu’on est en train d’écrire ici ? Ici c’est rien d’autre que la largeur de l’intervalle divisé par le nombre d’intervalles qui nous intéresse que multiplie la fonction à un point un peu précis.

On est en train d’écrire quelque chose comme la somme sur le nombre d’intervalles qu’on va décider — par exemple on va dire qu’il y a n intervalles –. La somme de f, alors là il faudrait définir, je vais écrire directement ak ici, donc l’idée c’est que c’est à chaque fois le milieu du petit intervalle, que multiplie la largeur de l’intervalle divisée par le nombre d’intervalles, donc ici (b-a)/n.

De ∆x à dx…

Alors ce machin-là il est fixe puisque il dépend pas de k, b – a c’est fixé et n c’est fixé, et donc ça on peut l’appeler Δx par exemple. Ce Δx, c’est quelque chose qui est fixée suivant le nombre d’intervalles qui nous intéresse. Et ça c’est la valeur de la fonction à chaque fois au milieu de notre petit intervalle qui nous intéresse.

Donc tu vois qu’on fait une somme, deux valeurs de fonctions qui multiplie toujours le même intervalle. Bon si tu as bien compris l’idée ici, je prends plein d’intervalles, je vais avoir pleins de traits ici. Et puis je vais être très proche de l’aire qui nous intéresse.

Eh bien si tu fais tendre ça jusqu’à ce que ce dx en fait devienne minuscule, c’est comme tu fais tendre n vers l’infini on va faire tendre cette chose là. Note que c’est très à la main ce que je te dis ici. On va faire tendre ça vers quelque chose qui est de la forme f(x) puisque on va regarder un seul point vers un petit intervalle dx.

Et on va dire qu’on va faire cette somme là entre a et b. Donc tu vois que le signe, il sort pas de n’importe où ! Même si c’est vraiment très à la main ce que je dis ici, c’est même pas très mathématique finalement.

Mais ce qu’il faut que tu comprennes c’est que c’est ça qu’on est en train de faire. C’est à dire qu’en gros on va regarder la valeur de la fonction fois un tout petit tout petit Δx et on va regarder ça : On va faire une sorte de somme infinie entre a et b, il faut que tu comprennes cette chose là.

Et on va voir dans la prochaine vidéo comment calculer une intégrale grâce à une primitive de la fonction qu’on intègre.

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