​Dans cette vidéo on va voir comment diviser deux nombres complexes sous forme algébrique. Donc là encore, on va utiliser un nombre complexe, un premier et un deuxième x'+iy', x, y et x', y' appartenant à R bien sûr. Et ce qu'on va regarder c'est Z/Z'. Alors ça à quoi c'est égal ? On prend juste ça : x+iy /x'+iy'. Encore une fois ce qu'on veut ainsi
quand je dis diviser, quand je dis calculer la division des deux, c'est de retomber sur un nombre complexe, donc on veut savoir qu'est la partie réelle de cette division et la partie imaginaire de cette division.

Ici le problème qu'on a c'est qu'on a dû i au dénominateur, et ça c'est un problème qu'on va rencontrer souvent avec les complexes, et donc je veux que tu retiennes une chose importante c'est que quand tu as un nombre complexe sous forme algébrique comme ça : partie réelle plus i partie imaginaire au dénominateur, il faut que tu penses directement à multiplier par le conjugué.

Donc ce qu'on va faire ici c'est multiplier par le conjugué. Donc on va avoir x+iy,
évidemment le conjugué de celui qui est au dénominateur, c'est à dire x'-iy'. Et là, on va diviser par x'+iy' facteur de x'-iy'. Alors pourquoi on fait ça ? Parce que je t'ai
dit dans la vidéo sur les conjugués, c'est que quand on multiplie un nombre
complexe par son conjugué, on obtient le module au carré, autrement dit y a plus de i.

Donc ça si on fait ça, qu'est ce qu'on obtient ? Bon en haut on va développer, en regarde en bas déjà. En bas on va obtenir (x')^2 + (y')^2. Tu vois qu'ici ça c'est un nombre, c'est un réel, c'est rien d'autre, donc ça pose aucun problème. En haut, eh bien il n'y a
plus qu'à multiplier et diviser, enfin c'est beaucoup de calculs, mais globalement on va obtenir xx' - iy'x + iyx' - i^2 yy'. Donc là, il n'y a plus qu'à faire le calcul, ça c'est du calcul ennuyant mais pas très compliqué normalement si tout va bien.

Le i, on vagarder ça en facteur. Ici on avait -i^2 yy', donc ça, ça va faire +yy', d'accord ? ça, ça va être notre partie réelle, et puis on va factoriser par i, +i,
donc ici on a x y x' - y' x, d'accord ? Et le tout divisé par (x')^2 +(y')^2. Alors ici les calculs on s'en moque un peu, ce que je te demande c'est que tu peux le faire, la seule chose que tu as vraiment à retenir c'est cette chose là, on multiplie par le conjugué, alors évidemment on veut pas changer la fraction, donc comme toujours si on multiplie le dénominateur, on multiplie aussi le numérateur. Donc en gros ça revient à multiplier par 1 ici, mais ce qu'on veut c'est faire apparaître ce conjugué ici.

ça nous permet d'avoir un réel en bas et donc à partir de là qu'est ce qu'on
obtient ? On obtient partie réelle de (Z/Z') qui est égal à quoi ? Qui est égal à xx' + yy' / (x')^2 + (y')^2. Même chose avec la partie imaginaire, une partie imaginaire de (Z/Z'), ça va être égal à yx' - y'x divisé par la même chose, (x')^2 + (y')^2, d'accord ? Donc ça veut dire qu'on connaît la partie réelle et la partie imaginaire, donc on connaît le nombre complexe qui correspond à la division de deux nombres complexes.

Alors tu vois qu'ici quand on le fait sous forme algébrique, ça c'est compliqué, dans la prochaine vidéo on va le faire sous forme exponentielle et ça va devenir beaucoup plus simple, mais ici ce qui est important c'est ce que j'ai encadré en rouge, c'est la seule chose que tu dois retenir. à chaque fois que tu vas avoir au dénominateur un nombre complexe, et que tu veux faire un calcul et obtenir à la fin une partie réelle et une partie imaginaire, la technique qu'il faut retenir c'est de multiplier par le conjugué.

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