Comment écrire un logarithme népérien en fonction d’un autre ln ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir comment écrire un logarithme népérien en fonction d’un autre ln. Donc on va avoir logarithme népérien de a, ln(a), et on veut l’écrire en fonction d’un autre n, par exemple  ln(b).

Comment écrire un logarithme népérien en fonction d’un autre ln : Un exemple !

Alors ça pas toujours être simple mais globalement quand on va te le demander, ça va être faisable (!). Donc typiquement on va voir ln(8) et on veut l’écrire en fonction de ln(2).

Alors qu’est ce qu’on va faire ? L’idée ça va être d’utiliser les formules qu’on connaît donc dans les formules qu’on connaît on a ln(a*b) = ln(a) + ln(b) et ln(a^b) = b*ln(a).

Alors ça c’est les deux formules que tu vas utiliser le plus souvent pour simplifier ou pour écrire un ln en fonction d’un autre.

L’idée de base.

Toute l’idée c’est ici de venir prendre ce qui est à l’intérieur du ln que tu veux simplifier ou que tu veux écrire en fonction de l’autre et de le voir comme une multiplication ou comme exposant.

Ici 8 c’est deux fois 4 ou bien ces 2^3, d’accord ? Quand tu sais ça tu peux écrire ln(8) = ln(2^3) et donc ça c’est 3 ln(2). Donc voila en gros quand on va te demander d’écrire un ln en fonction d’un autre, c’est ce qui va falloir que tu cherches à faire.

En fait, tu veux écrire ce qui est à l’intérieur du premier ln en fonction de ce qui est à l’intérieur du deuxième ln. Ici on veut écrire 8 en fonction de 2 ! Quand on fait ça, donc là sur celui-là il n’y a pas de problème. Il n’y a que du ln(2).

Si on fait le premier ici ça fait ln(2*4) et c’est ln(2) + ln(4). Ça, c’est la formule c’est cette formule ici. Alors là, ça suffit pas puisqu’on a bien du ln(2). Mais on a aussi du ln(4) et il nous embête un peu.

Sauf que ln(4) c’est ln(2*2) donc ici ça va faire ln(2) + ln(2*2). Or ln(2*2), grâce à cette formule, ça fait ln(2) + ln(2). Donc au total ça fait ln(2) + ln(2) + ln(2) et ça nous fait bien 3ln(2).

Dans le cas général ?

De manière générale si tu veux aller vite, il vaut mieux reconnaître un exposant. Si tu ne vois pas les exposants dès le départ ça ne pose pas de problème, tu fais avec des multiplications.

En général, la base de tes tables tu la connais donc tu sais que 8 c’est 4 x 2 ! Si c’est 4 x 2 tu peux écrire ça maintenant 4 c’est bien 2 fois 2. Donc tu vas pouvoir faire apparaître à chaque fois le ln(2) dont on avait besoin.

Donc voilà quand tu vas vouloir écrire un logarithme népérien en fonction d’un autre ln : En gros, il faut que tu prennes ce qui est à l’intérieur du premier ln, et que tu l’écrives en fonction de ce qui est à l’intérieur du second.

Et puis tu vas faire tes petits calculs comme ici tu vas retrouver une partie de ce que tu voulais. Par exemple, ln(8) en fonction de ln(2) mais il y a un terme en trop. Eh bien, avec ce terme tu vas faire pareil. Tu vas essayer d’écrire en fonction de celui que tu as besoin : ln(4) en fonction de ln(2).

Et quand t’arrives à ça, au fur et à mesure, tu vas arriver à simplifier les choses pour arriver à ce qui t’intéresse. Donc globalement quand tu veux écrire un ln en fonction d’un autre, il ya deux formules à utiliser ln(a*b) est égale ln(a) + ln(b) et ln(a^b) = b ln(a).

Et tant que ce qu’il ya à l’intérieur du ln peut s’écrire comme une multiplication ou un exposant ou une puissance et bien tu vas pouvoir simplifier les choses.

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