Quand est-ce que la propriété ln(1/a) = -ln(a) est utile ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir quand est-ce que la propriété ln(1/a) = -ln(a) est utile, d’accord ?

Donc ça c’est une belle propriété du ln qu’il faut que tu connaisse bien sûr ! C’est ln(1/a) = -ln (a) ou bien ln(1/x) = -ln (x), c’est la même chose.

Quand utiliser la propriété ln(1/a) = -ln(a) ?

Alors on va s’en servir soit pour résoudre des équations par exemple, ou bien aussi pour simplifier des formules avec des ln.

Par exemple, je vais prendre un exemple simple. Si tu fais un tas de calculs, et que tu arrives à ln(2) + ln(1/2). Là, tu pourrais laisser comme ça, tu vois que ça semble raisonnable, c’est pas la même chose, donc tu veux pas forcément faire ce calcul !

Sauf qu’en fait, si tu regardes ce que c’est, ça c’est ln(2). Et ln(1/2) d’après cette formule là c’est -ln(2) ! Donc en fait, t’es entrain d’écrire ln(2) – ln(2)… Et ça ça vaut 0, d’accord ?

Pourquoi simplifier ?

Donc tu as fait tous tes calculs, et puis tu t’arrêtes à ce truc là en disant : bah j’ai trouvé la solution. Mais en fait tu n’as pas vraiment trouvé la solution. Parce que si tu pousses un tout petit peu, tu vois que tu peux arriver au fait que ton égalité en fait, elle vaut zéro.

Donc c’est souvent quelque chose qu’on va faire avec les ln, c’est essayer de simplifier quand t’as plusieurs ln. Quand t’as des sommes de ln ou des soustractions de ln, comme on va le voir dans les vidéos suivantes.

On aime bien essayer de simplifier au maximum. Et pour simplifier, eh bien, on va utiliser les propriétés du ln, typiquement celle-ci : ln(1/a) = -ln(a).

Idem pour une équation.

Ce qui va te permettre ici de simplifier tout ça et d’arriver à ça. Ici je le fais dans le cas où tu as une égalité… Mais en fait ça peut être exactement la même chose avec une équation.

Si par exemple t’as un ln(x) qui traîne ou bien, bah typiquement, si je reprend exactement le même exercice, la même chose, et que j’ai par exemple ln(x) + ln(1/2) = 0.

Tu vois qu’ici, ça c’est la même chose que ln(x) = -ln(1/2). Alors le problème c’est que là, on sait pas résoudre cette équation directement sans utiliser les exponentielles !

Alors qu’en fait, si j’avais écrit ln(x) = -ln(1/2), eh bien ça va faire plus ln(2). Et là, je sais résoudre cette équation directement sans même utiliser les exponentielles.

Puisque la fonction ln est une fonction continue strictement croissante, si ln(x) = ln(2), alors x égal 2 ! Tu vois donc que par exemple ici ça va te servir à résoudre une équation sans avoir à utiliser l’exponentielle.

De manière générale, c’est quelque chose qui te sert à simplifier tes calculs et à manipuler le ln de manière à arriver ce qui t’intéresse. Voilà à quoi peut te servir la propriété ln(1/a) = -ln(a).

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