Comment utiliser la propriété ln(a*b) = ln(a) + ln(b) ?

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Retranscription

Dans cette vidéo on va voir comment on peut utiliser la propriété ln(a*b) = ln(a) + ln(b).

Comment utiliser cette propriété ? ln(a*b) = ln(a) + ln(b).

Dans une autre vidéo, on a vu comment se rappeler de cette formule. Là on va voir comment l’utiliser. A quoi peut-elle servir ? Elle peut servir dans les deux sens déjà. Donc elle peut servir soit en partant d’ici en arrivant à ça. Ou dans l’autre sens pour factoriser !

Simplifier une équation.

Donc typiquement si on arrive à une équation, tu vois on est en train de faire des calculs ici. Et on arrive à ln (3) + ln (6) par exemple. Et puis ce qu’on nous demande en fait, c’est pas tout à fait ça… On nous demande de simplifier au maximum.

Eh bien ici ln (a) + ln (b) : On sait qu’on a ln (3*6), D’accord ? Donc cette chose-là c’est ln (18). Ça, c’est si on nous demande de simplifier au maximum, d’obtenir qu’un seul ln.

Par exemple ça va être le cas dans une équation. Si on a une équation, on a envie d’arriver à quelque chose comme ça. Si par exemple on veut résoudre l’équation ln 2 (2x) = ln (3) + ln (6) Tu vois qu’ici on ne sait pas le résoudre directement sans passer par par l’exponentielle. Et encore c’est un peu embêtant…

Ce qu’on aime bien faire c’est écrire ln de quelque chose égal ln d’autre chose. Là, il faut utiliser la formule ln(a*b) = ln(a) + ln(b). Donc on a vu ln(3) + ln(6) c’est ln(18).

OK, maintenant on à ln de quelque chose = ln d’autres choses donc on sait que ça veut dire que 2x=18 et donc x=9. Donc ici tu vois que ça va te permettre de simplifier ce qu’on avait ici de manière à être sous le forme ln d’un premier terme égal d’un deuxième terme.

Au final tu auras donc le premier terme égal le deuxième. Ça c’est le premier sens, c’est à dire qu’ici on va compacter la formule.

L’utiliser dans l’autre sens.

L’autre possibilité ça va être d’utiliser ce sens ici pour « simplifier » le ln. Alors, si je reprend exactement les mêmes chiffres. Par exemple, on a ln(18) et on te demande d’écrire ln(18) avec ln(3) et ln(6).

Comme ici tu sais que 18 c’est 3*6 ou 9*2. Alors ln(18) c’est ln(6*3) ou aussi ln(9*2). Donc là on a deux formes qui sont bien de la forme ln(a*b). Ça te dit quoi ? Que ln(18) = ln(6) + ln(3). Mais c’est aussi égal à ln(9) + ln(2).

Autrement dit, ça va dépendre de ce qu’on te demande en fait. Si on te demande d’écrire ln(18) en fonction de ln(9) et de ln(2). Eh bien tu vas utiliser celui là. Et tu vois qu’ici on pourrait continuer puisque neuf c’est 3*3, ça va faire ln(3) + ln(3) donc 2 ln(3) + ln(2).

Nécessairement tu vas voir que si on fait la même chose ici, si ça c’est 3*2. ln(3*2) c’est ln(3) + ln(2). Donc tu vas avoir ln(3) + ln(2) + ln(3). Et ça fait bien 2ln(3) + ln(2). Nécessairement, ça c’était juste une étape intermédiaire !

SI on te demande d’écrire ln(18) en fonction de ln(3) et de ln(2), tu peux commencer par l’un des deux et puis continuer la même chose.

Remarque.

Tu vois qu’ici ln(2) on peut l’écrire que2*1. 2*1 ça n’a aucun intérêt puisque les ln(1) ça vaut 0. Par contre 9 c’est bien 3*3. Ou si c’est bien 3*2. Donc là tu peux encore réutiliser celle ci pour simplifier ton ln.

Au final, ça va te permettre d’écrire ln de quelque chose qui peut se créer comme une multiplication, en fonction d’autres ln.

Donc voila quoi peut servir la propriété ln(a*b) = ln (a) + ln(b).

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