A quoi peut servir la propriété ln(a/b) = ln(a) – ln(b) ?

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Retranscription

Dans cette vidéo on va voir à quoi peut servir la propriété ln(a/b) = ln(a) – ln(b). Et de la même façon que pour ln(a*b), on peut s’en servir dans les deux sens. Je m’explique.

Utiliser la propriété ln(a/b) = ln(a) – ln(b) dans le sens 1.

Si tu arrives à un calcul à ln(7) – ln(2). T’arrives à ce calcul-là et on te demande de l’écrire le plus simplement possible. Alors ici, bon ben c’est une soustraction, donc c’est certainement pas le truc le plus simple donc tu vas écrire ln(a) – ln(b) c’est ln(a/b), c’est à dire ln (7/2). OK ?

Donc là tu peux arriver à ça. Alors quel intérêt ça peut avoir ? Par exemple, dans les équations ! Si on te dit ln(7x) = ln(7) – ln(2). Donc ça pour le résoudre, tu sais qu’on veut écrire ln de quelque chose égal ln d’autre chose.

Là tu utilises la propriété, et ça te dit que c’est ln (7/2). Ici on a donc ln(7x) = ln(7.2). Puis on a une équivalence entre ces deux équations. À partir de ce moment là, tu as bien ln d’un premier terme égal à ln d’un deuxième terme.

Donc le premier terme égale le deuxième terme. Donc 7x = 7/2. Et ça tu sais le résoudre ça veut dire x égale 1/2. Ça c’est quand tu vas avoir utiliser cette propriété de manière à résoudre une équation.

Utiliser cette propriété dans le sens 2 ! 

Maintenant, tu peux aussi avoir avoir à l’utiliser dans l’autre sens. Par exemple, tu vas voir ln, je sais pas moi… On te demande d’écrire ln(7) en fonction de ln(21) et de ln(3).

Tu te dis « mais c’est bizarre », comment l’écrire en fonction de ln(21) et ln(3) ? Déjà pourquoi on ferait ça ? Et bien parce que peut-être que dans ton exercice ln(21) il apparaît autre part et tu aimerais pouvoir le faire apparaître à partir de ce ln(7);

Eh bien ici 7 c’est quoi ? C’est 21/3 ! Il faut voir le lien évidemment, mais ici c’est 21/3, donc si ln(7) c’est ln(21/3) , c’est aussi ln(21) – ln(3). Autrement dit, ici ça va être plus sur les applications. Il y a peu de chances que tu l’utilises celle-ci dans ce sens là. En tout cas pour développer.

En général on utilise plutôt la multiplication de manière à simplifier le ln. Et la division ici on va plutôt l’utiliser dans l’autre sens. C’est à dire on va plutôt s’en servir comme ici, pour passer d’une version séparée à une version compacte.

Mais on ne sait jamais ça pourrait servir si on te demande, si tu vois qu’on te demande d’écrire, ln d’un chiffre en fonction de deux autres chiffres qui ne sont pas une multiplication. Autrement dit,  qui sont des chiffres plus grands que le chiffre de départ, comme ici, 21 et 3. Ça te permet d’avoir une relation entre ces trois termes qui pourraient peut-être te servir dans un exercice.

Donc voilà comment tu peux utiliser dans un sens et dans l’autre la propriété : ln(a/b) = ln(a) – ln(b).

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