Comment « simplifier » une expression avec des ln ?

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Retranscription

Dans cette vidéo on va voir une méthode un peu générale pour simplifier une expression qui contient des ln.

Qu’est-ce que veut dire « simplifier » une expression avec des ln ?

Alors qu’est ce que je vais appeler « simplifier une expression » avec des ln ? C’est quand il va y avoir plusieurs ln ! Par exemple, dans une équation et on va faire ça, comme ça, ce sera peut-être plus intéressant de le voir sur un exemple.

Un exemple.

On va prendre ln(3x) + ln(1/x) = ln(27) – ln(3) + ln(1/2) ln(3x) + ln(1/x) = ln(27) – ln(3) + ln(1/2), par exemple. Donc on a cette expression-là et tu vois qu’on aimerait résoudre cette équation par exemple.

Ou on voudrait simplifier au moins cette équation pour pouvoir la comprendre plus facilement. Qu’est ce qu’on va pouvoir faire pour la simplifier ?

Tiens, on va même rajouter un 2 ici. Donc l’idée ici c’est : comment est-ce qu’on va pouvoir simplifier cette équation ? Ou bien cette expression au moins, juste pour arriver à quelque chose de plus lisible, de plus simple à comprendre.

Une généralité avec les ln.

Un truc chouette avec les ln, c’est que dès qu’on a des sommes de ln ou des soustractions de ln, ou un facteur fois quelque chose en ln, on va pouvoir le réécrire comment un autre ln.

Donc en gros, tout ce qui est sommes et soustractions, ça va devenir des multiplications ou des divisions, ou des puissances. Ce qui est toujours très pratique pour ensuite simplifier !

Typiquement ici, on va utiliser les trois formules qu’on connaît :

  • ln(ab) = ln(a) + ln(b),
  • ln(a/b) = ln(a) – ln(b),
  • et puis la dernière, ln(a^b) = b*ln(a).

Et à chaque fois, on va les utiliser pour simplifier, ça veut dire qu’on va plutôt aller dans ce sens là, d’accord ? On va passer de quelque chose qui a plusieurs termes, à un seul terme.

C’est ça simplifier, en général 🙂 ! Et puis on pourrait aussi utiliser : ln(1/a) = – ln(a), mais ça, ça simplifie pas forcément, ici, tu vois quand on n’a toujours qu’un seul terme.

La mise en application.

Ok, donc ici, quand on l’applique à ce qu’on a : on a un premier c est ln(a) + ln(b), d’accord, et ça on sait que c’est ln(a*b). Ici, ça fait 3x * 1/x. Ça, c’est le terme à gauche.

Maintenant à droite, on en a trois, donc quand on en a 3, on panique pas, on fait deux par deux. Soit tu commences par le premier ici, ln(27) – ln(3), ce qui va te donner ln(27/3). Ici j’utilise cette formule, et il va rester + 2ln(1/2).

Là je me rends compte que ce que j’ai écrit ça va arriver à une absurdité. Donc on va faire un petit changement, on va mettre un carré ici. Voilà comme ça on va garder les choses comme ça nous arrange.

A voir ln(3x*1/x^2) donc ça, ça fait 3x sur x carré, donc ça va faire 3 sur x, et donc ln(3/x) égal ici 27 sur 3 fait 9, donc ln(9). Il va nous rester le terme ici…

On a un terme de la forme b*ln(a) donc ça ça fait ln(a^b), soit ln( (1/2)^2 ), et on n’oublie pas les parenthèses dans tous les sens, 1/2 au carré. Ln(3/x), par exemple, et bien ici on peut le réutiliser.

Tout dépend de ce que tu veux faire avec…

Alors ça va dépendre ce qu’on va vouloir faire, donc on peut le laisser comme ça, par exemple, pour commencer. ln(3/x), ln(9) c’est simplifié, mais on sait aussi que c’est 3^2, donc ça c’est aussi 2ln(3).

Et puis, ici ln((1/2)^2) ça fait 1/4, donc ln(1/4). Donc on peut s’en tenir à ça je vois qu’ici on a fait quelques trucs alors ce qui peut être intéressant, c’est de voir qu’ici, si tu utilises la formule cette fois ci dans l’autre sens, c’est à dire que ln(a/b) c’est ln(3) – ln(x).

Oui, ln(3/x) = ln(3) – ln(x), le ln(3) qui va apparaitre en fait, il peut se simplifier avec celui là, donc peut-être que autant l’utiliser !

Donc ça c’est ln(3) – ln(x) = 2 ln(3) et puis si on n’aime pas trop les ln de 1 sur quelque chose, donc on va utiliser le -ln(4). Donc ici, il nous reste – ln(x), on va supprimer le ln(3) de ce côté, donc on va faire -ln(3) des deux côtés, ça va 2ln(3) – ln(3), ça fait ln(3), il n’en reste plus qu’un seul ! Puisque on en avait deux et qu’on en enlève un.

Et puis ici, -ln(4). Ok, quand on est là qu’est ce qu’on peut faire, ici ça on peut faire quelque chose puisque maintenant on a fait sauter ce 2 alors on peut changer les signes ici, donc avoir +ln(4) – ln(3) ln(4) – ln(3) c’est ln(4/3).

D’accord ? Donc ça c’est ln(4/3) Alors pourquoi j’ai été jusqu’ici, parce que maintenant ln(x) = ln(4/3). Donc x = 4/3. Tu vois qu’on a même résolu l’équation de départ.

L’intérêt de simplifier les ln ?

En fait ici, bon c’était pas vraiment l’intérêt mais c’est toujours intéressant de voir à quoi ça peut servir de simplifier. On part d’une équation où il ya cinq termes, on a des x carré, des 3x… on fait nos simplifications, en utilisant les propriétés qu’on connaît, et puis on essaye de résoudre.

Alors on aurait pu s’arrêter avant, on aurait pu résoudre à plein d’endroits, moi ce qui m’intéressait c’était de sortir le ln(x) tout seul tu vois. Parce que c’est quelque chose que tu vas avoir tendance à vouloir faire en équation…

Une application : Résoudre des équations.

Pour résoudre des équations, donc tu vois qu’on utilise toutes nos formules. On simplifie, on peut ressortir donc ici tu vois quand on on utilisait la première pour transformer l’addition en ln d’une multiplication, on fait cette multiplication, et on réutilise dans ce sens cette fois-ci pour séparer ici les deux termes. Et avoir ln(x) qui est tout seul.

Donc ici on est parti d’un truc où c’était un peu compliqué, et on arrive à ln(x) égal quelque chose. Et ce quelque chose là, ben on sait le calculer et on s’est même le mettre sous la forme d’un ln, pour simplifier et arriver à x = 4/3.

Quand tu fais tout ça, tu vois que tu peut trafiquer les choses vraiment fortement ! Et je t’invite à travailler ces choses là parce que quand tu vas travailler avec des ln, c’est hyper important de savoir manipuler les ln sans jamais faire d’erreur.

La solution pour ne jamais faire d’erreur c’est de savoir exactement quelle formule tu utilises pour passer d’une ligne à l’autre ! D’accord ?

Par exemple, quand je passe de ce que j’ai écrit en vert, à ce que j’écris en orange, tout en haut, qu’est ce que j’utilise pour passer de ça à ça, et bien j’utilise cette propriété ici ! Pour passer de ln(27) – ln(3) à ln(27/3), j’utilise cette propriété-ci d’accord. A chaque fois c’est pareil : quand je passe d’ici à ici, j’utilise la propriété ici.

Si tu sais dire exactement entre chaque ligne quelle propriété tu as utilisée, tu ne feras aucune erreur. Donc voilà une méthode un peu générale pour simplifier une expression avec des ln.

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