Comment résoudre des équations avec ln(x) ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, je vais te montrer comment résoudre des équations qui font apparaître ln(x).

ln(x) = a

Si on prend l’équation la plus simple possible ça va être ln(x) = a par exemple. Autrement dit, ln(x) égale à une constante ici, peu importe appartenant aux réels.

Comment est-ce qu’on va résoudre ce type d’équations avec ln(x) ?

Eh bien on va utiliser une propriété importante : c’est que la fonction réciproque de ln(x) c’est exponentielle. Autrement dit e^ln(x) = x ! C’est ça la fonction réciproque, ça veut dire quand on va appliquer la fonction réciproque à la fonction d’origine on va retrouver x.

Que je l’écrive comme ça ou que je l’écrive exp(ln(x)) c’est la même chose ça vaut x. Si tu utilises ça dans cette équation là, bah tu vois directement que tu peux appliquer des deux côtés !

C’est une équation, tu peux appliquer la fonction exponentielle ici donc tu auras e^ln(x) = e^a. Et ça d’après ce que je viens de dire… puisque ça c’est la fonction réciproque qu’on a appliqué, on x = e^a.

Au final, la solution d’une équation aussi simple que celle ci, c’est e^a.

ln(x^2) + ln(x) + 2 = 0

Ensuite, si on prend une équation un peu plus compliquée, comme par exemple ln(x^2) + 2 ln(x) + 2 = 0. Là tu vas avoir plusieurs façons de faire les choses !

Soit tu utilises l’exponentielle comme je viens de le faire, soit tu utilises les formules avant d’utiliser l’exponentielle. Par exemple ici si on utilise la formule ln(x^2), on sait que ça vaut 2 ln(x) + 2 ln(x) + 2 = 0.

Donc là c’est équivalent, 4 ln(x) + 2 = 0 ou ln(x) = -2/4 = -1/2, et donc ça c’est x = e^(-1/2). Ça c’est juste en utilisant ce que j’ai fait sur la gauche. on aurait pu utiliser…

Si tu veux utiliser l’exponentielle directement ça va faire des calculs un peu plus compliqués mais ça marche aussi. C’est à dire que si tu fais exponentielle de tout ça puisque c’est l’exposant 0 d’un nombre.

Cette chose là c’est exponentiel de a + b + c et donc ça c’est e^a * e^b * e^c. Donc ça c’est e^ln(x^2) * e^ln(x) * e^2. Alors ça devient un peu plus compliqué mais e^ln(x^2) on sait que l’exponentielle c’est la fonction réciproque du ln, donc ça ça vaut x^2.

Et ici il faut faire attention e^2 ln(x), ça fait bien encore une fois x^2 parce que c’est e^(ln(x) * 2) donc ça c’est un peu plus complexe fois e^2 égal 1.

Au final ça équivaut à dire que x^4 = e^-2 je te laisse voir les calculs, et donc que x = e^(-1/2). Mais tu vois que c’est beaucoup plus compliqué et qu’ici il faut faire très attention puisque ici quand t’as e^(2 ln(x)) = (e^ln(x))^2, et donc c’est bien égal à x^2.

Résumé et méthode générale

Comme le logarithme d’un x exposant quelque chose devient un logarithme de x fois quelque chose, il vaut mieux utiliser les formules avant d’utiliser l’exponentielle.

Pour les équations un peu plus complexe la meilleure chose à faire c’est d’utiliser les formules que tu connais sur le logarithme.

Mais sinon de manière générale, quand tu arrives à la fin de ton équation et que t’as ln(x) égal à quelque chose… il te suffit d’utiliser la fonction réciproque c’est-à-dire l’exponentielle pour trouver x égal la valeur qui t’intéresse.

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