Comment tracer la fonction ln, ln(x) ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir comment tracer la fonction ln, autrement dit le logarithme népérien !

Les infos pour savoir comment tracer la fonction ln !

Son domaine de définition

Alors ln(x) c’est donc la fonction qui nous intéresse et qu’est ce qu’on sait sur ln(x)? On sait que elle est définie, on va rappeler que le domaine de définition de ln, c’est R+*. Donc R+* c’est simplement ]0, +∞[.

Donc x il est nécessairement strictement positif, c’est encore équivalent à x > 0. Ça c’est l’une des choses qu’on sait : c’est défini que sur les x strictement positifs.

Les valeurs et limites remarquables

L’autre chose qu’on doit savoir c’est que ln(1) = 0. Après on peut s’intéresser aux limites. on sait que la limite quand x tend vers 0, c’est -∞, alors ici de ln(x) bien sûr. Et puis la limite quand x tend vers +∞, c’est +∞ .

Si on utilise ça et qu’on trace notre fonction donc ici cette fois-ci contrairement à l’exponentielle, on a bien des valeurs négatives par contre on n’a pas de x négatif.

Place au traçage !

On place les points…

Qu’est ce qu’on a dit ? Déjà on prend une unité comme toujours, et donc voilà. Ici on a l’origine, on a dit un premier point c’est ln(1)=0, donc x=1, ln(1) vaut 0. Donc on va passer par ce point ci, très important ce point là !

Deuxième chose qu’on sait c’est qu’on part négatif ici, qu’on part à l’opposé ici. Alors il y a une valeur que j’ai pas mise et qui est très intéressante ici, on va rajouter une autre c’est ln(e) = 1 !

Alors celle-ci c’est simplement, et on va le voir un peu… dans une autre vidéo mais c’est simplement parce que ln(e^x) = x et donc ln(e^1) = 1.

Ça c’est une valeur à te rappeler aussi, il y a deux valeurs à te rappeler, comme pour l’exponentielle il y avait deux valeurs.Première ln(1)=0, deuxième ln(e)=1.

Voilà si tu connais ces deux chiffres là, tu vas pouvoir tracer, ces deux valeurs là, tu vas pouvoir tracer la fonction. Donc on a dit ln(e) = ln(2,78) à peu près donc x=1, x=2, x=3 donc x=2,78 c’est à peu près ici. Et on a dit ln(e) = 1, donc on a ce point là.

Je reprends, le premier point ici c’est (1,0) et ici c’est (e,1). Tu remarqueras que c’est simplement les deux valeurs sont inversées par rapport à l’exponentielle.

On utilise les limites…

Donc on sait qu’on arrive de -∞, on allongeait la courbe x=1, ln vaut e. Et puis on va partir à l’infini tranquillement. Donc tu vois globalement à quoi ça ressemble.

Tracer la courbe du logarithme népérien à partir de celle de l’exponentielle ?

Alors une chose importante c’est que si tu sais tracer l’exponentielle tu vas savoir tracer aussi naturellement la fonction logarithme. Alors comment est ce qu’on fait ça ?

Eh bien il y a une façon de faire ça c’est de prendre la droite y = x. Donc si x vaut 1, y vaut 1, etc. donc ça c’est la droite y=x. Si tu regardes cette courbe ici c’est exactement la symétrique par rapport à cette droite de la courbe exponentielle !

C’est à dire que la courbe exponentielle c’est quelque chose qui arrive de 0, qui passe en 1, qui va ensuite passer loin et qui va exploser. Alors si tu regardes ces deux courbes, tu vois bien que le logarithme ici c’est la symétrique de l’exponentielle.

Donc si tu sais tracer le logarithme, tu sais tracer l’exponentielle simplement par symétrie par rapport à y = x et inversement. Donc tu vois le point ici qui était 1=0, il devient (0,1) ici. Et le point qui est (e,1), il devient (1,e).

Bon ici, c’est pas parfaitement tracé comme toujours mais ça c’est (1,e), et donc tout ça c’est les points symétrique par rapport à cette droite. Si tu sais tracer l’une, tu sais tracer l’autre !

Mais les choses importantes encore une fois ici c’est simplement x est positif, le logarithme n’est défini que pour x positif. Puis ln(1)=0, ln(e)=1, on vient de -∞ , on passe par ces deux points et on repart à l’infini tranquillement !

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