Comment trouver la mesure principale d’un angle ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va regarder comment trouver la mesure principale d’un angle. Mais avant ça, quelle est l’idée derrière la mesure principale ?

Un angle en général, le mieux c’est de le représenter dans le cercle trigo comme toujours. Donc qu’est ce qu’on a ? On a un cercle trigo ici et on a une valeur d’angle.

Comment trouver la mesure principale d’un angle?

L’idée derrière elle est assez simple, l’application elle est un petit peu plus complexe. Mais la mesure principale c’est la valeur de l’angle dans l’intervalle [-π, π[. L’intervalle [-π, π[ c’est on part, l’angle 0 est là, -π il est ici, donc ça veut dire on part dans ce sens là, puis on part dans ce sens là.

Comme ça on va de 0 à π , et comme ça on va de l’angle 0 à -π cette fois. Donc on voit qu’un angle, quelle que soit sa valeur, en fait il va finir par se retrouver là-dedans. Alors on va prendre des exemples.

Premier exemple trivial

Par exemple si on prend l’angle 2π /3 2π /3, on sait à peu près où il est. Normalement c’est par ici c’est l’angle 120°, c’est l’angle ici en gros. Donc l’angle 2π /3 c’est l’angle qui est formé par ça.

On voit ici que l’angle par défaut déjà il est dans l’intervalle ]0, π[, donc sa mesure principale eh bien c’est 2π /3.

Deuxième exemple pour mieux comprendre.

Maintenant, on pourrait prendre par exemple 4π /3. Alors 4π /3, si on fait la même chose, ici on en a 2, si on en rajoute 1 on arriver ici et un autre on va arriver ici. Donc là, ça c’est l’angle 4π /3.

Si je le trace de la même façon, on tourne deux versions en forme positive ici donc à ça c’est 4π /3. Donc 4π /3 ici c’est plus grand que π puisque 3π /3 ça fait π. Donc 4π /3 est plus grand que π, donc c’est pas la valeur principale !

On voit donc que la valeur principale ici et bien elle va être dans l’autre sens, c’est à dire qu’elle va aller comme ça. Si là on en a 4 pour faire un tour complet, quand on se rappelait simplement que 2π c’est aussi 6π /3.

Ici on en a 4 déjà qui ont fait ici donc là il nous en reste que 2. Donc ici la mesure principale de cet angle est – 2π /3, ça va être cette fois ci négatif. Et c’est simplement le complément, tout ce qui nous manque pour aller jusqu’à 2π.

Troisième exemple plus extrême.

Alors ça c’est à la main on va continuer encore un petit peu à la main. Maintenant si on prend un angle beaucoup plus grand : par exemple 18π /7.

Bon, je n’ai aucune idée de combien ça fait ça, mais peu importe. Alors comment on va savoir ce que vaut cet angle en mesure principale? Qu’est ce qu’on va faire ?

Calculer le nombre de tours que ça inclut…

Eh bien on va regarder combien de tours on peut rentrer dedans ! Parce que tu vois qu’en fait on va finir par tourner en rond. Donc qu’est ce qui nous intéresse ici quand on regarde 18π /7 ?

Première chose, eh bien on a π, si on regarde en π c’est 7π /7. 2π c’est 14π /7. Alors il faut être à l’aise avec les fractions évidemment mais ça c’est de façon générale en math.

Donc on voit déjà que sur les 18 y en a 14, ça fait juste faire un tour. Donc là on va faire un premier tour comme ça, là on est à 7π /7, on continue et il y en a 14π /7.

Puis regarder ce qu’il nous reste !

Donc maintenant, il nous en reste 4. Alors π /7, donc π il est là, donc π /7 c’est 1/7 du demi cercle et on en veut 4. Alors 4 sur 7 ça fait un peu plus que la moitié ! Puisque la moitié ces trois et demi donc c’est un angle qui risque d’être, je ne vais regarder précisément mais ça doit être quelque chose comme ici.

C’est à dire qu’ici si tu pars d’ici, tu fais un tour complet et que tu reviens jusque là, eh bien tu as fait 18π /7. D’accord? Et l’angle, on a dit c’est l’angle qui est ici. Donc là voilà, ça c’est l’angle 18π /7, c’est en fait un nombre qui tourne sur lui-même, qui part de ce point là, qui tourne sur lui-même et qui arrivent ici.

Maintenant cette mesure principale est bien c’est simplement reprendre cette position-là par rapport à 0. Donc ici bah la mesure principale elle est là et on se moque du fait qu’il a fait un tour avant quoi.

Le tour qu’on voit entre ce point là et ce point là eh bien on semblant qu’on l’oublie et on prend que la mesure principale c’est à dire ce à quoi il ressemble à la fin.

Ça on a dit on a enlevé un tour complet, un tour complet on a dit c’est 14π /7 on était à 18, on en enlève 14, il nous en reste 4. Donc ça c’est 4π /7.

Donc de manière générale :

De façon générale ce que tu veux faire pour trouver la mesure principale d’un angle c’est de te mettre dans le cercle trigo et regarder où ton angle va.

Tu pars de zéro et tu fais tout ce que tu as besoin de faire et en gros l’idée c’est de savoir si : Première chose si t’es entre 0 et π  la mesure principale c’est directement l’angle.

Si l’angle est entre π et 2π, la mesure principale, il va falloir partir dans l’autre sens pour l’avoir.

Et puis si l’angle est plus grand que 2π, eh bien à chaque fois tu vas enlever un tour. Donc dès que tu peux faire 2π complets, tu enlèves ce tour là et tu regardes ce qui reste. Puis tu continues ce que tant qu’il y en a assez.

Un dernier exemple pour le fun !

Si tu fais 4 tours, tu vas avoir 4 fois le tour. Par exemple si on prend l’angle, je ne sais pas par exemple 70π /4, comment on sait ce que ça donne ? On a dit 2π c’est en π /4, ici ça nous en fait 8, 8π /4. D’accord ?

Combien de fois on va rentrer 8π /4 là dedans alors au minimum 8 x 8 ça fait 64. Donc ici on va avoir, si on multiplie, on va avoir 8 tours, donc 8 tours ça fait 8 * 8π.

Et ça nous donne, ça nous donne 64π/4. Là on aura fait 8 tours. Donc ça c’est des tours on s’en moque, c’est des choses qui peuvent disparaître pour la mesure principale. On n’en a rien à faire.

Et ce qui nous reste quand on a fait 8 tours ça nous donne huit tours plus il va nous rester combien pour arriver à 70 ? 6π /4 alors 6π /4 on voit encore une fois que ça c’est plus grand que π puisque c’est 3π /2 en fait ici, donc 6π 4, 3π /2, 3π /2 on sait ce que c’est, π /2 il est ici, 2π /2 il est là, 3π /2 il est là, donc si c’est 3π /2 la mesure entre 0 et 2π , eh bien c’est -π/2 la mesure principale.

Donc ça c’est égal à – π /2 en mesure principale. La mesure principale de l’angle 70π /4 c’est -π /2 puisqu’on peut rentrer 8 tours dans cet angle là et ensuite il nous reste 3π /2. Donc – π /2 l’angle en mesure principe.

Conclusion

Voilà l’idée derrière le calcul de la mesure principale ! Ensuite c’est juste un petit peu de calcul pour comprendre combien de tours ont fait à l’intérieur de l’angle qu’on nous donne.

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