Comment résoudre l’équation trigonométrique cos(x) = a ?

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Retranscription

​Alors dans cette vidéo on va voir comment résoudre l’équation trigonométrique cos(x) = a.

On pourrait mettre n’importe quelle variable, c’est pas très important ici. Mais ce qui nous intéresse c’est cos(x) = a. Et donc l’inconnue ici c’est bien x, a il est fixé.

Pour résoudre ça, on passe directement au cercle trigo. Si on pense pas au cercle trigo, on est foutu ! Donc on part d’un cercle trigo, on dessine ça comme toujours, aucun problème ici, on a notre cercle trigo.

Alors, chose importante, on est entrain de regarder le cosinus, d’accord ? Donc on a dit cosinus, il se lit sur cet axe-là. (Je t’invite à regarder la vidéo précédente si jamais c’est pas clair.) Et on veut que le cosinus d’un angle soit égal à la valeur a.

Ici, on veut que ce soit le cosinus qu’il soit égal à une valeur, d’accord ? C’est bien une valeur qu’on va lire sur l’axe des abscisses ! Et on va dire que petit a, il est positif. Par exemple on prend a ici, d’accord ?

Résoudre une équation trigonométrique avec cos(x) : la méthode.

On prend la valeur de a ici, on a donc bien une valeur de cosinus qui vaut a. Et maintenant on veut trouver l’angle ou les angles qui correspondent à cette valeur de cosinus.

D’après ce qu’on a dit dans la vidéo précédente si cette valeur a c’est le cosinus de l’angle, eh bien c’est l’abscisse du point d’intersection avec le cercle trigo qu’on a dessiné ici.

Donc ce qui veut dire que si on remonte ici, c’est à dire qu’on va tracer la droite verticale qui passe par cosinus égal a, et on va regarder les points d’intersection.

Les deux angles…

Le point d’intersection ici, il y en a un là et un là. Par conséquent, ces points d’intersection, encore une fois, ils représentent deux angles. Le premier angle part du centre et il va à ce premier point d’intersection. Et le deuxième il part du centre, il va à ce deuxième point d’intersection.

Ici on a donc deux angles pour lesquels le cosinus vaut a. Alors si on regarde la valeur de ces angles ? Il ya un premier angle qui est ici : θ1 qui est donc un angle positif dans ce sens là.

Et puis θ2 ici, qui lui est négatif si je le dessine comme ça, ou bien je peux le dessiner en faisant tout le tour. Ce qui revient à dire que l’angle c’est celui là si je le veux en version positive. Voilà comment tu résous une équation trigonométrique.

Quelques détails supplémentaires.

Ensuite ce qu’il faut, c’est connaître tes angles, les angles classiques. Par exemple si je prend cos(x) = -1/2, d’accord ? – 1/2 c’est quelque chose qui est par ici. Donc si je fais passer une droite exactement comme je l’ai décrit, j’obtiens deux points d’intersection.

Un point d’intersection ici et un point d’intersection ici. Donc on a un premier angle. Là ce qu’il faut eh bien c’est connaître les valeurs des cosinus pour les angles visuels.

Si le cosinus vaut -1/2, l’angle qui est associé que je peux dessiner comme ceci, et le deuxième qui est ici. Le premier angle associé ici, ça va être 2π/3, et le deuxième si je pars en version négative, eh bien ça va être -2π/3.

Donc pour cos(x) = -1/2, tu dessines ça pour voir à quoi ça ressemble. Et ensuite tu traduis ! Ça veut dire x = 2π/3 ou x = -2π/3.

Voilà comment tu peux résoudre une équation trigonométrique du type cos(x) = a.

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