Comment résoudre une inéquation trigonométrique avec le sinus ?

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Retranscription

​Alors dans cette vidéo on va voir comment résoudre une inéquation trigonométrique avec le sinus. Et on va s’intéresser à quelque chose de la forme sin(x)>a.

On commence par le cercle trigo !

Comme toujours ici, on trace le cercle trigo. Dès qu’on est en trigo, on fait le cercle trigo, et voilà donc j’ai mon cercle trigo. Ici la seule inconnue qu’on a c’est bien x et on s’intéresse au sinus.

Or sinus, on sait qu’on lit ça sur l’axe des ordonnées, donc ici on a le sinus. Là, exactement comme pour quand on va essayer de résoudre une équation avec le sinus, on va d’abord positionner la valeur de a.

Par exemple, on va dire que a est ici. Une fois qu’on a positionné la valeur de a, on va tracer la droite horizontale qui passe par a. De cette droite horizontale, on obtient deux points d’intersections qui correspondent aux angles qui sont solution de l’inéquation sinus (x) égal à a.

Les extrémités de l’intervalle solution

Ces deux angles ils sont ici, et ils correspondent à deux valeurs d’angle. Alors ici par exemple, si on le tourne dans ce sens là, on va dire ça c’est l’angle θ1 qui est un angle négatif, il est ici. Et l’angle positif θ2. Donc qu’est ce qu’on a ici ?

On a trouvé les deux angles extrêmes de notre intervalle solutions.

Résoudre une inéquation trigonométrique avec le sinus : presque comme les équations !

Maintenant, il reste à savoir si les angles qui nous intéressent sont entre ces deux de ce côté-là ou entre ces deux de ce côté-ci. Pour savoir ça, on va regarder le signe ici, le sens de l’inéquation.

Le sens de l’inéquation, on veut les sinus qui sont strictement plus grand que a ! Donc a est ici, on grandit dans ce sens là, comme dans l’axe des y classique, la flèche elle va pas bien dans ce sens là.

Autrement dit, plus grand que a strictement, ça veut dire tous ce qu’il y a au dessus.On part d’ici et ça va être tout les sinus qui sont ici. Donc je vais le faire un peu en épais pour qu’on le voit bien, voilà.

Chose importante, on ne veut pas prendre la valeur de a, donc on va exclure ici… Ça c’est pour toi au brouillon, c’est pas quelque chose que tu as besoin de dessiner, mais tu vois qu’on va pas prendre la valeur a et on va prendre toutes les valeurs qui sont au dessus de a.

Comment savoir ?

Maintenant à quoi ça correspond ? Est ce que ça correspond aux parties qui sont ici, aux angles qui sont ici ou aux angles qui sont là ?

Eh bien il suffit de regarder, on prend un angle entre les deux par exemple celui là, quelle est la valeur de son sinus ? Eh bien c’est très simple, son sinus il est ici. Puisque son sinus est ici, tous les angles qui sont entre ces deux valeurs de ce côté là, vont bien avoir un sinus compris dans cet intervalle orange que j’ai dessiné.

On peut en reprendre un pour l’exemple, si on prend cet angle ici, tu vois qu’il est toujours entre ces deux de ce côté là, eh bien son sinus il est bien ici. Donc en étant ici, il est bien dans l’intervalle qui nous intéresse qui est l’intervalle sinus (x) plus grand strictement que a.

Qu’est ce que ça nous dit donc ? Ça nous dit que la solution à cette équation-là c’est x appartient à l’angle θ1… Mais qu’on ne prend pas puisqu’on veut pas que le sinus vaille a, jusqu’à l’angle θ2.

Quand on ça, on a la solution de l’inéquation sinus (x) est strictement plus grand que a. Si on avait eu inférieur ou égal à a, eh bien on serait intéressé aux angles de l’autre côté. Voilà comment tu peux résoudre une inéquation trigonométrique avec le sinus.

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