Comment résoudre l’équation trigonométrique sin(x) = a ?

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Retranscription

​Dans cette vidéo on va voir comment résoudre une équation trigonométrique du type sin(x) = a, d’accord ? On s’intéresse cette fois-ci à l’équation trigo sur le sinus.

Comprendre la situation grâce au cercle trigo !

Donc même chose que pour le cosinus, on prend sin(x) = a, et on dessine le cercle trigo pour comprendre ce qui se passe dans les faits, simplement.

Dans le cercle trigo, la seule inconnue ici c’est bien x, a il est fixé. Et on s’intéresse au sinus ! Alors si on s’intéresse aux sinus, on va lire ça sur l’axe des ordonnées cette fois-ci.

Donc on veut que le sinus de l’angle qu’on cherche soit égal à a. On va donc positionner a sur l’axe des sinus. C’est à dire l’axe des ordonnées. Par exemple, on va dire que a est ici. Et qu’est ce qu’on veut faire ?

Résoudre une équation trigonométrique de type sin(x) = a ?

On veut trouver l’angle qui correspond à ce sinus ou les angles qui correspondent à ce sinus. Et on a dit le sinus c’est la coordonnée en y !

Première étape

Donc sur l’axe des ordonnées du point d’intersection entre le trait qui représente l’angle et le cercle trigo. Autrement dit ici, si je trace la droite horizontale qui passe par le sinus qui vaut a, j’obtiens deux points d’intersection ici.

Un premier point d’intersection ici, et un deuxième point d’intersection ici pour lesquels l’ordonnée est bien a ! Autrement dit le sinus des angles correspondant à ces deux points d’intersection est bien a.

Deuxième étape

Et donc les angles correspondant eh bien c’est ceux qui partent du centre et qui vont jusqu’à ce point d’intersection. On a deux angles encore une fois.

Maintenant, il faut les valeurs de ces angles. Alors si je tourne dans le sens positif direct, j’ai un premier angle ici c’est θ1 et un deuxième qui fait le grand tour. Le deuxième qui est comme ça, qui vaut θ2.

Alors j’aurais pu aussi partir dans le sens négatif et dire eh bien ici j’ai un θ1′ et ici j’ai un θ2′. Alors ça c’est juste la façon de donner l’angle. Mais tu vois que les angles sont les mêmes ! C’est juste soit tu l’ai dans un sens positif, soit sur le sens négatif.

Peu importe ici, ça dépend ce qu’on te demande, dans quel domaine on te demande la valeur de l’angle…

Mini-résumé : 

Ce qui est important ici c’est tu positionne la valeur que tu es entrain de regarder sur l’axe des ordonnées. Puisque on regarde les sinus, tu traces le trait horizontal qui correspond à cette valeur de sinus. Et tu prends les deux points d’intersection : ça te définit les deux angles.

Ces deux angles-là,  eh bien, c’est les angles que tu cherches, qui sont solution de l’équation !

Un exemple réel pour comprendre !

Si tu le fais dans un cadre réel, ce qu’il faut c’est que tu aies une valeur de sinus que tu connais. Par exemple ici on va dire sinus = 1/2. Donc si on regarde sin(x) = 1/2, il faut connaître les valeurs d’angle associées à sin(x) = 1/2.

Ici on trace même chose, on a deux points d’intersection : un premier qui est ici et un deuxième qui est ici. Ça, ça correspond à deux angles : un premier ici et un deuxième ici.

Et maintenant c’est à toi de te rappeler les valeurs usuelles. J’ai fait ça dans une autre vidéo, mais ici l’angle qui est associé c’est π/6. Et si c’est π/6, alors si on fait le grand tour, ça va être 5π/6.

Autrement dit, on va dire sin(x) = 1/2, eh bien on va arriver à x = π/6 ou x = 5π/6. Et ce qui est important c’est que tu dessines ce cercle trigo de manière à bien voir ce qui se passe !

Parce que ça va t’aider aussi pour les inéquations qu’on va voir dans les vidéos suivantes. Voilà comment tu peux résoudre une équation trigonométrique de type sin(x) = a.

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