Dans cette vidéo je t'explique comment résoudre une inéquation trigonométrique avec le cosinus.

Transcription de la vidéo

​Alors dans cette vidéo on va voir comment résoudre une équation trigonométrique du type cos(x) plus petit ou égal à a. Alors ici, plus petit ou égal, on pourrait regarder
strictement plus petit ou bien strictement plus grand ou plus grand ou égal, ça change en rien. Le principe est exactement le même, donc toujours la même chose, on part du cercle trigo, on le trace complètement, voilà.

Et un peu comme pour les équations, on va regarder, la seule inconnue ici c'est x, a est fixé, et on s'intéresse au cosinus. Donc on s'intéresse à l'axe des abscisses. Donc on veut que le cosinus soit plus petit que a, donc déjà on va positionner a, donc on commence exactement comme pour une équation, on positionne a. une fois qu'on a positionné a, on trace la droite verticale passant par a, et on obtient deux points d'intersection : un premier point d'intersection ici, deuxième point d'intersection ici. Ces deux points
correspondent à deux angles : un premier ici et un deuxième ici.

Donc on a deux angles et maintenant il faut qu'on regarde ce qui nous intéresse.
Alors ce qui nous intéresse ici c'est plus petit ou égal à a, d'accord ?
C'est que le cosinus soit plus petit ou égal à a. On a dit le cosinus on le lit
sur l'axe ici des abscisses et on veut être plus petit ou égal à a. Donc
qu'est ce que ça nous dit ? Eh bien ça nous dit que ça va être tous les angles
qui ont un cosinus compris entre -1 et a.

Donc tous les cosinus correspondant à ce que je suis entrain de dessiner ici. Donc tous les angles qui auront un cosinus dans cet interval vert ici, eh bien ils seront bien
solution de l'équation. Donc qu'est ce que ça nous dit ici ? Donc là on a en gros les valeurs extrémales, c'est à dire les valeurs pour cos(x) = a, on veut que ce soit inférieure ou égale, donc on va prendre cette valeur, d'accord ?

Donc on veut toutes les valeurs ici, eh bien si on regarde un angle ici qui est entre ces deux angles, donc il suffit de regarder, si on regarde le cosinus de cette valeur là, on redescend, il est bien dans cet intervalle. Il est bien dans cette intervalle, même chose ici, même chose ici.

Donc si là je prends un angle qui est en dehors de ces valeurs, entre ces deux
valeurs de ce côté là, eh bien on voit que le cosinus lui ne va pas être dans
l'intervalle. Donc on veut pas ces valeurs là, donc en gros on a nos deux
valeurs extrêmes et en fait l'ensemble des solutions c'est tous les angles qui
sont entre ces deux valeurs, et de ce côté ci, d'accord ? Donc tous les angles qui sont dans ce morceau là vont bien avoir le cosinus plus petit ou égal à a.Donc je résume ici, quand tu veux résoudre une inéquation trigonométriques avec le cosinus, qu'est ce que tu fais ? Eh bien tu positionne la valeur qui t'intéresse ici a sur l'axe des cosinus, donc sur l'axe des abscisses, tu regardes les deux anlges localauxquels ça correspond, donc ça correspond à deux angles exactement comme on l'a fait dans le cas d'une équation.

Tu trace ces deux angles, ensuite tu regardes le sens qui t'intéresse, ici tu veux plus petit ou égal à a, donc tu regardes à quoi ça correspond sur l'axe des abscisses. Et si plus petit ou égal à a, ça correspond ce que j'ai mis en vert ici à cet intervalle ici. Maintenant, à partir de là, tu regardes si les angles qui t'intéresse ils sont en gros entre ces deux valeurs de ce côté là où de ce côté là. Donc ici c'est clair c'est bien entre ce premier angle et ce deuxième angle.

Donc ici, si ça c'est θ1 et que ça c'est θ2, eh bien ta solution c'est x appartient à θ1 et θ2. Après ça dépend comment on te demande, si on te demande que les angles soient entre -π et π ou bien entre 0 et 2π, mais c'est toujours le même principe, tu vois qu'ici on veut être entre le premier ongle e t entre le deuxième angle, tout angle qui va être dans cet intervalle va bien avoir un cosinus qui appartient à cet intervalle vert que j'ai dessiné ici.

Si on avait eu strictement plus grand que a ici, eh bien tu vois que pour que le cosinus soit strictement plus grand que a, il faut que les angles soit entre ces deux
angles mais dans ce sens là, c'est à dire entre, si celui là je l'appelle -θ2', tu vois qu'ici si j'avais cosinus de x strictement plus grand que a, eh bien il faudrait que j'ai x compris entre -θ2' non pris puisque ici on veut strictement, et θ1 non pris.

Donc après c'est juste à toi de définir de quelle côte t'es, et ça ça dépend du sens de l'inéquation. Donc une fois que tu as tracé ça et c'est très facile, tu vois visuellement comprendre ce qui se passe et de voir quelles sont les angles qui correspondent à l'inéquation que tu es entrain de regarder.

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