Comment résoudre une inéquation trigonométrique avec le cosinus ?

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Retranscription

​Alors dans cette vidéo on va voir comment résoudre une inéquation trigonométrique avec du cosinus, du type cos(x) ≤ a !

Alors ici, plus petit ou égal, on pourrait regarder strictement plus petit ou bien strictement plus grand ou plus grand ou égal, ça change en rien.

Toujours partir du cercle trigo !

Le principe est exactement le même ! Donc toujours la même chose, on part du cercle trigo, on le trace complètement, voilà. Et un peu comme pour les équations, la seule inconnue ici c’est x, a est fixé.

Positionner a

De plus, on s’intéresse au cosinus, donc à l’axe des abscisses. Donc on veut que le cosinus soit plus petit que a, donc déjà on va positionner a. On commence exactement comme pour une équation, on positionne a.

Résoudre une inéquation trigonométrique avec le cosinus : presque comme pour les équations !

Une fois qu’on a positionné a, on trace la droite verticale passant par a, et on obtient deux points d’intersection. Un premier point d’intersection ici, deuxième point d’intersection ici.

Ces deux points correspondent à deux angles : un premier ici et un deuxième ici. On a donc deux angles et maintenant il faut qu’on regarde ce qui nous intéresse. Alors ce qui nous intéresse ici c’est plus petit ou égal à a, d’accord ?

C’est que le cosinus soit plus petit ou égal à a. On a dit le cosinus on le lit sur l’axe ici des abscisses et on veut être plus petit ou égal à a. Qu’est ce que ça nous dit ? Que ça va être tous les angles qui ont un cosinus compris entre -1 et a.

Autrement dit, tous les cosinus correspondant à ce que je suis entrain de dessiner ici. Tous les angles qui auront un cosinus dans cet intervalle vert ici, seront bien solution de l’inéquation.

On part des valeurs extrémales.

Là on a en gros les valeurs extrémales, c’est à dire les valeurs pour cos(x) = a. Or on veut que ce soit inférieur ou égal, donc on va prendre cette valeur, d’accord ?

On veut toutes les valeurs ici, eh bien si on regarde un angle ici qui est entre ces deux angles… Donc il suffit de regarder, si on regarde le cosinus de cette valeur là, on redescend, il est bien dans cet intervalle. Il est bien dans cette intervalle, même chose ici, même chose ici.

Donc si là je prends un angle qui est en dehors de ces valeurs, entre ces deux valeurs de ce côté là. Eh bien on voit que le cosinus lui ne va pas être dans l’intervalle. On ne veut donc pas ces valeurs-là !

En gros, on a nos deux valeurs extrêmes et l’ensemble des solutions c’est tous les angles qui sont entre ces deux valeurs, et de ce côté ci, d’accord ?

En résumé

Tous les angles qui sont dans ce morceau-là vont bien avoir le cosinus plus petit ou égal à a. Donc je résume ici, quand tu veux résoudre une inéquation trigonométrique avec le cosinus, qu’est ce que tu fais ?

Tu positionnes la valeur qui t’intéresse ici a sur l’axe des cosinus, i.e. sur l’axe des abscisses. Puis tu regardes les deux angles auxquels ça correspond exactement comme on l’a fait dans le cas d’une équation.

Ensuite, tu trace ces deux angles, et tu regardes le sens qui t’intéresse, ici tu veux plus petit ou égal à a. Donc tu regardes à quoi ça correspond sur l’axe des abscisses. Et si plus petit ou égal à a, ça correspond ce que j’ai mis en vert ici à cet intervalle ici.

Maintenant, à partir de là, tu regardes si les angles qui t’intéressent ils sont en gros entre ces deux valeurs de ce côté là ou de ce côté là. Ici c’est clair c’est bien entre ce premier angle et ce deuxième angle.

Au final, si ça c’est θ1 et que ça c’est θ2, eh bien ta solution c’est x appartient à θ1 et θ2. Après ça dépend comment on te demande, si on te demande que les angles soient entre -π et π ou bien entre 0 et 2π.

Mais c’est toujours le même principe, tu vois qu’ici on veut être entre le premier angle et le deuxième angle, tout angle qui va être dans cet intervalle va bien avoir un cosinus qui appartient à cet intervalle vert que j’ai dessiné ici.

Et le cas plus grand que ?

Si on avait eu strictement plus grand que a ici ? Tu vois que pour que le cosinus soit strictement plus grand que a, il faut que les angles soit entre ces deux angles mais dans ce sens là. C’est à dire entre, si celui là je l’appelle -θ2′, tu vois qu’ici si j’avais cosinus de x strictement plus grand que a, eh bien il faudrait que j’ai x compris entre -θ2′ non pris puisque ici on veut strictement, et θ1 non pris.

Après c’est juste à toi de définir de quel côté tu es ! Et ça ça dépend du sens de l’inéquation. Donc une fois que tu as tracé ça, c’est très facile. Tu vois qu’il te faut visuellement comprendre ce qui se passe pour voir quelles sont les angles qui correspondent à l’inéquation que tu es en train de regarder.

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