Comment trouver une primitive de 1 sur racine de x (ou 1/√x) ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, je vais te montrer comment retrouver une primitive de 1/√x. On a donc la fonction f(x)=1/√x, et on va chercher une fonction F(x) qui dérivée, donne 1/√x.

Racine = exposant 1/2 ^^

Alors comme toujours avec les racines de x, maintenant tu commences à en avoir l’habitude, si tu me suis un peu, je préfère utiliser la version en exposant.

Donc ça, c’est 1/x^(1/2) et encore mieux ça c’est x^(- 1/2). À partir du moment où on a x^(-1/2), tout devient plus simple parce que là qu’est ce qu’on va faire ? Eh bien on va dériver, on va dériver pour retomber sur ça.

Alors soit tu te rappelles que quand tu dérives la racine tu obtiens quelque chose comme ça, soit tu va utiliser simplement x^n.

Retrouver une primitive de 1/√x

Alors il ya plusieurs façons de le faire, une façon de le faire ici ça va être de dire: on sait que (x^n)’ c’est n x^(n-1). Alors maintenant que doit valoir n pour que n-1 vaille -1/2 ?

D’accord, on fait ça n-1 = -1/2, ça, ça nous fait n = -1/2 + 1, donc ça fait 1/2. Ok, donc ça marche pour x^(1/2). Si on prend x^(1/2). Rappel: x^(1/2) c’est √x. On va obtenir 1/2 x^(-1/2).

Donc on y est presque, la seule chose qui ne va pas c’est ce facteur ici et ce facteur il suffit de multiplier par l’ inverse de 1/2, donc par 2. Autrement dit si on dérive 2 * x^(1/2), on devrait obtenir ce qu’on veut.

Donc ça, ça nous fait 2 fois la dérivée de x^(1/2) 1/2 x^(1/2 -1), donc -1/2, ça tombe bien c’est ce qu’on veut. 2 * 1/2 eh bien ça vaut 1. Donc ça, ça s’en va et il nous reste x^(-1/2) qui vaut bien 1/√x. Qu’est ce que ça nous dit ? Ça nous dit que F(x) = 2 * x^(1/2), autrement dit 2 √x est une primitive de 1/√x.

L’ensemble des primitives est donc…

Donc là, comme toujours avec les primitives, on pourrait rajouter une constante ici et on serait toujours primitive de 1/√x. Donc l’ensemble des primitives de 1/√x s’écrit 2√x + C.

Et de la même façon, si aussi on avait, je sais pas, 3/√x, eh bien il suffirai de multiplier par 3 ici, donc on aurait 6√x comme primitive.

Comme toujours √x tu le remplace par x^(1/2). Ensuite on a 1 sur x exposant quelque chose, on utilise l’exposant négatif. Et puis, ensuite, on peut retravailler directement avec la dérivée qu’on connaît bien qui est la dérivée de x^n.

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