Comment trouver une primitive de la fonction sin(x)*cos(x) ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir comment tu peux trouver une primitive de la fonction sin(x)*cos(x).

Alors après, tu pourras faire des variations avec des moins ou des choses comme ça, mais l’idée est là c’est t’as un sinus et un cosinus, et puis après t’as tout ce que tu veux.

Et puis, il pourrait y avoir des exposants ici. Donc ce qui est intéressant de se rappeler ici c’est que, eh bien si on fait notre petit cercle trigo, on a le sinus et ici on a le cosinus.

Partons de la dérivée…

Donc la dérivée de sinus c’est le cosinus. Donc en fait, si on regarde cette fonction ici, alors je vais l’appeler g par exemple, g(x). g(x), elle est de la forme sin(x) que multiplie dérivée de sin(x). Alors, c’est pas très propre de l’écrire comme ça, mais c’est pas très grave.

En gros, u(x) * u'(x), avec u(x)=sin(x). Mais ce u * u’ c’est aussi de la forme u’ * u^1 si on veut. Et ça, on connaît une primitive de cette chose là. On l’a vu dans les vidéos précédentes. Une primitive de cette chose là c’est u^2/2.

Je te laisse revoir les vidéos précédentes avec u’ * u^n. Quand on dérive ça, on obtient bien u’ que multiplie, et là, la dérivée de x^2 c’est 2x. Donc c’est 2x/2, ça fait bien x et donc on retrouve bien u^1, u’ * u.

Une primitive de sin(x)*cos(x).

Donc qu’est ce que ça nous dit ? Qu’une primitive de g(x) c’est G(x) où on a u^2/2. Et j’avais dit u=sin(x). Donc ça c’est sin(x)^2/2. Donc ça c’est une primitive.

Ou dans l’autre sens…

Alors ce qui est intéressant avec cette fonction là c’est que tu peux tourner les choses à l’envers. C’est à dire si au lieu de partir dans ce sens là je choisis un autre sens, typiquement j’utilise le fait que cos(x), sa dérivée c’est sin(x).

Eh bien cette fois ci, je peux dire que la fonction g(x), elle est de la forme non plus u’ * u, mais, alors je vais l’appeler v comme ça ça changera, -v(x) * v'(x) avec v(x)=cos(x). Tu vois que si v(x) c’est cos(x), v’ c’est -sin, donc ici on fait -v * v’, ça fait bien toujours sin * cos, ça fait la même chose.

Une deuxième primitive de sin(x)*cos(x).

Donc cette fois ci, eh bien une primitive c’est G2(x) qui est égal, donc cette fois ci ça va être -v^2/2. Alors v^2, v c’est cosinus. Donc ça fait -cos(x)^2/2. Et on pourrait faire encore autrement en utilisant les formules trigo qui te dit que sin * cos c’est bien quelque chose avec du sin(2x), c’est aussi sin(2x)/2.

Mais bon, je vais pas le faire ici, ce qui est intéressant, juste je veux faire un petit truc intéressant, c’est que ici on a une primitive, ici on a une deuxième primitive. Elles n’ont pas besoin d’être égales, elles sont égales à une constante près.

Deux primitives pour une même fonction ?

C’est toujours ça, toutes les primitives sont égales à constante près. Autrement dit, G c’est égal à G2 plus une certaine constante. Eh bien on peut regarder quelle est cette constante et pour faire ça, qu’est ce qu’on sait ?

On sait que cos^2(x) + sin^2(x) = 1. Autrement dit, par exemple sin^2=1-cos^2. Donc si je reprends G(x), G(x) c’est (1- cos^2(x))/2. Donc ça, c’est bien bien 1/2 – cos^2(x)/2. Donc ça c’est bien 1/2 + G2(x), d’accord ?

Donc on a bien G2(x) plus une constante. Tu vois que c’est bien, ça c’est toujours à constante près, c’est toute l’idée, c’est toujours comme ça, voilà. Donc une primitive c’était juste… c’est un bon exemple pour te montrer qu’une primitive c’est dépendant de plein de choses.

Il peut y en avoir plein et elles peuvent même avoir des formes qui semblent complètement différentes alors qu’elles sont très proches.

Voilà, ça c’était pour te montrer comment tu peux trouver une primitive de la fonction sin(x)*cos(x).

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