Comment trouver une primitive d’un produit de la forme u’*sin(u) ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir comment tu peux trouver une primitive d’un produit de fonctions sous la forme u’*sin(u).

Une idée pour te simplifier la vie.

Encore une fois, ce que tu vas vouloir trouver c’est qu’est ce qui dérivé donne cette chose là. Avant de te compliquer la vie avec des u partout, déjà tu reconnais qu’il y a la fonction sinus.

Qu’est ce qui dérivé, donne le sinus ? Eh bien, c’est -cosinus exactement. Si on veut être précis, on peut utiliser juste cosinus, c’est pas grave. Autrement dit, -cos(x), qu’est ce que ça donne quand on dérive ? ça donne sin(x) !

Avec la petite astuce, -cos, il est ici, quand on dérive, on tourne vers la droite, donc on arrive à sinus. Donc la dérivé de -cos(x) c’est sin(x).

Toujours cette dérivée d’une fonction composée…

Maintenant, la dérivé d’une fonction composée, dérivée ultra importante à connaître u'(x) * f'(u(x)). On mixe ces deux fonctions, qu’est-ce qu’on obtient ?

On obtient que la dérivée de -cos(u(x)) c’est égal à quoi ? C’est égal à u'(x), f’ qui est ici, donc sinus, en u(x), sin(u(x)). ça tombe bien, c’est exactement la fonction qu’on avait là haut. Donc qu’est ce que ça nous dit ?

Une primitive du produit u’*sin(u)

Si on appelle cette fonction g(x), ça nous dit qu’une primitive G(x) c’est – cos(u(x)). Comme toujours, ça c’est la partie théorique, maintenant ce qu’il faut c’est savoir l’appliquer dans les exos.

Donc pour l’appliquer dans les exos, eh bien il faut reconnaître cette forme là, c’est la première chose à faire quand tu veux trouver une primitive qui n’est pas une primitive usuelle.

Application sur un exemple.

Donc si on prend une fonction par exemple h(x) et qu’on a quelque chose de la forme (1/x) sin(ln(x)). Pourquoi pas ?

Le sinus il est défini sur R, cette fonction là va être défini sur x positif, x strictement positif puisque le ln, lui n’est défini que pour les x strictement positifs et que tu veux pas que ce soit 0 ici de toute manière.

Donc ici, on est de la forme sinus de quelque chose multiplié par autre chose. Déjà on a le sinus, c’est bien. On sait que c’est la fonction qui est, tu vois c’est le f ici, le plus en arrière. La fonction à l’intérieur ici c’est ln(x).

On va dire u(x) = ln(x). Dans ces cas-là, on regarde ce qu’est la dérivé ? La dérivé de ln(x) c’est 1/x. Donc ça c’est à connaître évidemment, mais le ln(x) c’est pas la plus compliquée. Puis h(x) ici, elle est bien de la forme u'(x) sin(u(x)), d’accord ?

D’après ce qu’on vient d’écrire ici, on est bien sous cette forme là, une primitive c’est -cos(u). Ici h(x) qui est une primitive de h, c’est -cos(ln(x)).

Quand on va dériver -cos(ln(x)), on va bien avoir la dérivé de ln(x) qui est le 1/ x, la dérivée de -cos qui est sinus prise en ln(x). Au final on va bien retomber sur la bonne fonction.

c’est la seule chose que tu as vraiment à faire en exercice c’est reconnaître la forme. Voilà comment tu peux trouver une primitive d’un produit de fonction qui va être sous la forme u’*sin(u).

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